Corrente di spostamento concatenata
Ho dei dubbi su questa domanda:
Se non sbaglio la corrente di spostamento concatenata è definita all'interno del condensatore, quindi siccome $S_1$ si trova all'esterno allora direi che la sua corrente di spostamento concatenata $i_1=0$. Per quanto riguarda $S_2$ invece ho alcuni dubbi, intanto non ho capito dalla figura se $S_2$ è solo la parte rossa oppure è sia la parte rossa che blu, inoltre la parte di $S_2$ interna al condensatore ha vettore di superfice perpendicolare al piano del foglio per cui è perpendicolare al campo elettrico quindi mi verrebbe da dire che anche la corrente di spostamento concatenata in $S_2$ è $0$, ma non è così infatti si ha che $i_2=i_0sin(\omegat)$ e infine non ho capito cosa c'entri $i_0sin(\omegat)$, che sarebbe la corrente che circola nel filo, con la corrente di spostamento concatenata che dovrebbe essere quella all'interno del condensatore, qualcuno mi può aiutare, grazie.
Se non sbaglio la corrente di spostamento concatenata è definita all'interno del condensatore, quindi siccome $S_1$ si trova all'esterno allora direi che la sua corrente di spostamento concatenata $i_1=0$. Per quanto riguarda $S_2$ invece ho alcuni dubbi, intanto non ho capito dalla figura se $S_2$ è solo la parte rossa oppure è sia la parte rossa che blu, inoltre la parte di $S_2$ interna al condensatore ha vettore di superfice perpendicolare al piano del foglio per cui è perpendicolare al campo elettrico quindi mi verrebbe da dire che anche la corrente di spostamento concatenata in $S_2$ è $0$, ma non è così infatti si ha che $i_2=i_0sin(\omegat)$ e infine non ho capito cosa c'entri $i_0sin(\omegat)$, che sarebbe la corrente che circola nel filo, con la corrente di spostamento concatenata che dovrebbe essere quella all'interno del condensatore, qualcuno mi può aiutare, grazie.
Risposte
"andreadel1988":
Se non sbaglio la corrente di spostamento concatenata è definita all'interno del condensatore, quindi siccome $S_1$ si trova all'esterno allora direi che la sua corrente di spostamento concatenata $i_1=0$.
Il punto non e' che la corrente di spostamento (cds) e' definita solo all'interno del condensatore.
Nessuno ha detto che la cds esiste solo all'interno dei condensatori.
La cds e' una variazione di campo elettrico (nel tempo), con associata una possibile variazione di polarizzazione (nel tempo), attraverso una superficie qualsiasi.
Detto cio' se hai un condensatore piano ideale (infinitamente largo e molto sottile), accade che il campo elettrico e' praticamente confinato tra le facce del condensatore, quindi la cds e' solo li.
Quindi $cds(S1) = 0$
Per quanto riguarda $S_2$ invece ho alcuni dubbi, intanto non ho capito dalla figura se $S_2$ è solo la parte rossa oppure è sia la parte rossa che blu,
Solo la blu.
inoltre la parte di $S_2$ interna al condensatore ha vettore di superfice perpendicolare al piano del foglio per cui è perpendicolare al campo elettrico quindi mi verrebbe da dire che anche la corrente di spostamento concatenata in $S_2$ è $0$,
Non ha importanza che sia perpendicolare o no.
Immagina il campo elettrico come un flusso di aria che entra da un porta (la superficie). Quasi sempre il flusso e' perpendicolare, ma ha importanza ? No .
ma non è così infatti si ha che $i_2=i_0sin(\omegat)$ e infine non ho capito cosa c'entri $i_0sin(\omegat)$, che sarebbe la corrente che circola nel filo,
Per avre una cds devi avere una variazione di campo elettrico.
Un $(\partial E) / (\partial t)$.
Per avere una variazione di campo elettrico devi avere una variazione di tensione sulla facce del condensatore.
Per avere una variazione di tensione sulla facce del condensatore devi avere una corrente che scorre sui fili del condensatore.
La corrente puo' essere qualunque, $i_0 sin(\omega t)$, oppure $i_o t$ oppure $i_0/t$, oppure $i_0e^t$, ecc..
Basta che sia $i \ne 0 $
Prova a calcolare la cds in questi casi
a) superficie $x^2+y^2 < 1, z= 0 $, con $\bb E = (1, t, sin (\omega t))$
b) superficie $x^2+y^2 < 1, z = 1 $, con $\bb E = (t^2, t, 3)$
c) superficie $x^2+y^2+z^2 = 4, z \le 0 $, con $\bb E = (t, t, t)$
con la corrente di spostamento concatenata che dovrebbe essere quella all'interno del condensatore, qualcuno mi può aiutare, grazie.
"Quinzio":
Per avre una cds devi avere una variazione di campo elettrico.
Un $(\partial E) / (\partial t)$.
Per avere una variazione di campo elettrico devi avere una variazione di tensione sulla facce del condensatore.
Per avere una variazione di tensione sulla facce del condensatore devi avere una corrente che scorre sui fili del condensatore.
La corrente puo' essere qualunque, $i_0 sin(\omega t)$, oppure $i_o t$ oppure $i_0/t$, oppure $i_0e^t$, ecc..
Basta che sia $i \ne 0 $
Ok, ma non ho capito perchè in $S_2$ la corrente di spostamente è proprio uguale alla corrente che passa nel filo, cioè la corrente di spostamente si definisce come $epsilon_0*(dphi(E(t)))/dt$ dove $phi(E(t))$ è il flusso del campo elettrico...
"Quinzio":
Solo la blu.
Scusami ma solo la blu non è $S_1$? Come fa a essere anche $S_2$
Sì, S1 è solo la parte blu, S2 solo la parte rossa.
Perché non provi a determinarla analiticamente, questa corrente di spostamento, in questo modo ti potrai convincere che è proprio pari alla corrente di conduzione entrante in C.
"andreadel1988":
... non ho capito perchè in $S_2$ la corrente di spostamente è proprio uguale alla corrente che passa nel filo, ...
Perché non provi a determinarla analiticamente, questa corrente di spostamento, in questo modo ti potrai convincere che è proprio pari alla corrente di conduzione entrante in C.
"RenzoDF":
Perché non provi a determinarla analiticamente, questa corrente di spostamento, in questo modo ti potrai convincere che è proprio pari alla corrente di conduzione entrante in C.
Aspetta analiticamente in che senso? Devo sfruttare la formula che ho citato oppure devo andare a parare da qualche altra parte? Comunque grazie della risposta
Sì, usando la relazione che hai citato.
Credo che per fare quello che suggerisce Renzo sia utile un "suggerimento".
La corrente di spostamento e'
$i = \epsilon_0 \int_S (\partial \bb E)/(\partial t) \dot d\bb S$
(tralasciando la polarizzazione se siamo nel vuoto).
Se il campo elettrico e' perpendicolare ed uniforme si ha
$i = \epsilon_0 S (dE)/(dt)$
D'altra parte la carica in un condensatore segue la legge
$Q = CV$.
Esplicitiamo la carica
$Q = it = CV$.
Poi la formula per un condensatore a facce piane parallele (che supponiamo ideale) e':
$C = \epsilon_0 S/d$
Quindi la legge del condensatore diventa
$it = \epsilon_0 S V/d$.
$V/d$ e' precisamente il campo elettrico $E$ e lo sostituiamo
$it = \epsilon_0 S E$
Se adesso deriviamo rispetto al tempo otteniamo.
$i = \epsilon_0 S (dE)/(dt)$
che e' uguale alla corrente di spostamento.
La superficie S va immaginata della stessa forma delle facce del condensatore e parallela ad esse, collocata in una zona intermedia tra le facce stesse.
La corrente di spostamento e'
$i = \epsilon_0 \int_S (\partial \bb E)/(\partial t) \dot d\bb S$
(tralasciando la polarizzazione se siamo nel vuoto).
Se il campo elettrico e' perpendicolare ed uniforme si ha
$i = \epsilon_0 S (dE)/(dt)$
D'altra parte la carica in un condensatore segue la legge
$Q = CV$.
Esplicitiamo la carica
$Q = it = CV$.
Poi la formula per un condensatore a facce piane parallele (che supponiamo ideale) e':
$C = \epsilon_0 S/d$
Quindi la legge del condensatore diventa
$it = \epsilon_0 S V/d$.
$V/d$ e' precisamente il campo elettrico $E$ e lo sostituiamo
$it = \epsilon_0 S E$
Se adesso deriviamo rispetto al tempo otteniamo.
$i = \epsilon_0 S (dE)/(dt)$
che e' uguale alla corrente di spostamento.
La superficie S va immaginata della stessa forma delle facce del condensatore e parallela ad esse, collocata in una zona intermedia tra le facce stesse.
"Quinzio":
D'altra parte la carica in un condensatore segue la legge
$Q = CV$.
Esplicitiamo la carica
$Q = it = CV$.
Poi la formula per un condensatore a facce piane parallele (che supponiamo ideale) e':
$C = \epsilon_0 S/d$
Quindi la legge del condensatore diventa
$it = \epsilon_0 S V/d$.
$V/d$ e' precisamente il campo elettrico $E$ e lo sostituiamo
$it = \epsilon_0 S E$
Se adesso deriviamo rispetto al tempo otteniamo.
$i = \epsilon_0 S (dE)/(dt)$
che e' uguale alla corrente di spostamento.
La superficie S va immaginata della stessa forma delle facce del condensatore e parallela ad esse, collocata in una zona intermedia tra le facce stesse.
In questa parte $i$ è la corrente che scorre nel filo giusto? E quindi trovi che è uguale alla corrente di spostamento nell'ultima formula.
Per la superfice $S_2$ quindi sarebbe tipo un tubo a tre rami dove due finiscono con un quadrato e un con un cerchio?
Visto che le grandezze sono funzioni del tempo, e che quindi non basta un prodotto $it$ per ottenere la carica $q(t)$ di C, io intendevo suggerirti di partire dalla corrente di conduzione $i(t)=i_0\sin(\omega t)$, da questa ricavarti la tensione $v(t)$ ai morsetti del condensatore (via relazione costitutiva), e a seguire il campo elettrico $E(t)$ e quindi il suo flusso attraverso S2, per poi dimostrare che la relazione da te indicata porta la $i_s(t)$ ad essere uguale a quella di conduzione $i(t)$.
"RenzoDF":
Visto che le grandezze sono funzioni del tempo, e che quindi non basta un prodotto $it$ per ottenere la carica $q(t)$ di C, io intendevo suggerirti di partire dalla corrente di conduzione $i(t)=i_0\sin(\omega t)$, da questa ricavarti la tensione $v(t)$ ai morsetti del condensatore (via relazione costitutiva), e a seguire il campo elettrico $E(t)$ e quindi il suo flusso attraverso S2, per poi dimostrare che la relazione da te indicata porta la $i_s(t)$ ad essere uguale a quella di conduzione $i(t)$.
Ok , penso di aver capito:
Abbiamo che $Q(t)=\int i(t) dt$ per cui $V(t)=(\int i(t) dt)/C$ dove $C=epsilon_0A/d$. Da questo ricaviamo che $E(t)=(\int i(t) dt)/(epsilon_0A)$ ora per calcolare il flusso se non sbaglio $S_2$ nel condensatore ha la stessa superfice del condensatore quindi $A$ per cui si semplifica e il flusso del campo elettrico viene $\Phi(E(t))=(\int i(t) dt)/epsilon_0$ e quindi se calcolo $i_s(t)=epsilon_0(d(\Phi(E(t))))/dt=i(t)$
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