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Buonasera, mi sto cimentando nel dimostrare la nota formula
$ e^{ix} = cos(x) + isin(x) $
I passaggi con la notazione estesa non mi lasciano alcun dubbio, tuttavia in forma chiusa ho qualche problema (penso a livello di indici).
Mi trovo dunque
$ e^{ix}=sum_{k=0}^infty(ix)^k/{k!} $
e da qui non saprei come continuare.
Andando a ritroso invece arrivo a
$ cos(x)=sum_{k=0}^infty(-1)^kx^{2k}/{(2k)!} $
$ sin(x)=sum_{k=0}^infty(-1)^kx^{2k+1}/{(2k+1)!} $
e dunque
$ cos(x) +isin(x)=sum_{k=0}^infty[(-1)^kx^{2k}/{(2k)!}+i(-1)^kx^{2k+1}/{(2k+1)!}]= $
$ =sum_{k=0}^infty\frac{(-1)^k[(2k+1)x^{2k}+jx x^{2k}]}{(2k+1)(2k)!}=sum_{k=0}^infty\frac{(-1)^kx^{2k}(2k+1+ix)}{(2k+1)(2k)!} $
e mi ritrovo quel fattore $ix$ a numeratore che se non ci fosse avrei ...
Considerata $f:\mathbb{P}^2(CC)->T$ definita come $f([z_0:z_1:z_2])=(abs(z_0)^2/(abs(z_0)^2+abs(z_1)^2+abs(z_2)^2),abs(z_1)^2/(abs(z_0)^2+abs(z_1)^2+abs(z_2)^2),abs(z_2)^2/(abs(z_0)^2+abs(z_1)^2+abs(z_2)^2))$ dove $T$ è il simplesso $T={(x,y,z)inRR^3| x+y+z=1,x>=0,y>=0,z>=0}$. Sia $(\tilde x,\tilde y,\tilde z)in{(x,y,z)inRR^3| x+y+z=1,x>0,y>0,z>0}$, mostrare che $f^-1($ $(\tilde x,\tilde y,\tilde z))$ è in biiezione $S^1xxS^1$.
Abbiamo che $f^-1($ $(\tilde x,\tilde y,\tilde z))={[z_0:z_1:z_2]in\mathbb{P}^2(CC)| abs(z_1)=sqrt(\tilde y/ \tilde x) abs(z_0),abs(z_2)=sqrt(\tilde z/\tilde x) abs(z_0)}$, per cui ho definito la funzione $g:f^-1($ $(\tilde x,\tilde y,\tilde z))->S^1xxS^1$ come $g([z_0:z_1:z_2])=(z_1/abs(z_0)sqrt(\tilde x/\tilde y),z_2/abs(z_0)sqrt(\tilde x/\tilde z))$, può andare bene come biiezione richiesta?
Mi trovo di fronte ad un problema di ricerca dello zero (o degli zeri) di una funzione complicatissima, che scritta esplicitamente riempie una pagina. La funzione mappa un certo insieme convesso \(\displaystyle D\subset\mathbb{R}^2 \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \). Di essa, riesco a fare alcuni grafici con MATLAB, scegliendo io la grana del grigliato 2D con cui campiono il dominio. Vi mostro degli esempi ottenuti man mano (per 6 volte, in questo esempio) zoomando intorno al minimo (che in ...

Salve ragazzi potreste consigliarmi/aiutarmi con questo integrale? Dovrei studiarne il carattere.
$int_(0)^(+oo) 1/(e^(x^2)-1) dx$ mi sono mosso così
Posto $f(x)=1/(e^(x^2)-1)$ noto che $f(x)$ è continua e positiva in $(0,+oo)$. Divido l'integrale in
$int_(0)^(1) 1/(e^(x^2)-1) dx + int_(1)^(+oo) 1/(e^(x^2)-1)dx$.
Per quanto riguarda il primo integrale, per $x->0$ ho che $1/(e^(x^2)-1) ~ 1/(x^2)$ da cui
$int_(0)^(1) 1/(x^2) dx$ è divergente dato che la potenza di $x$ è maggiore di 1. Quindi per il criterio del confronto ...
Sia $n$ il grado di un estensione di campo, allora il numero di automorfismi che lasciano fisso il campo base è $n$, viceversa se il numero degli automorfismi di un estensione di campo, che lasciano fisso il campo base, è $n$ allora il grado dell'estensione è $n$, come si può iniziare una dimostrazione di questo risultato?

Salve,
nella soluzione di un esercizio che coinvolge la funzione $Li_2$, c'è un passaggio in cui si fa ricorso a questa identità:
$Li_2(-1) = \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2} =<br />
\sum_{n = 1}^\infty[\frac{1}{(2n)^2} -<br />
\frac{1}{(2n-1)^2}] =<br />
\sum_{n = 1}^\infty[-\frac{1}{n^2} +<br />
2\frac{1}{(2n)^2}]$
Qualcuno per caso è a conoscenza di come ci si arriva?
(intendo se ci fosse dietro un puro passaggio algebrico che mi sfugge oppure se deriva da qualche identità più articolata nella manipolazione delle funzioni $Li(x)$ stesse).
Non riesco proprio ad afferrarlo.
Grazie a tutti.
L'integrale curvilineo di una funzione nel campo complesso è sempre un integrale di una forma differenziale $ f dx + i f dy $ esteso ad una generica curva regolare $ \gamma $, o anche in $ \mathbbC $ esiste una differenza tra i due integrali di linea come in $ \mathbb{R} $?

Ho questo blocco simulink
con il seguente codice dentro:
function xdot = fcn(x,u)
delta=1;
x1=x(1);
x2=x(2);
xdot1=x1*x2-delta*x1;
xdot2=-x1*x2-x2+u;
xdot=[xdot1;xdot2];
end
La mia funzione è adimensionalizzata e normalizzata quindi le variabili possono assumere massimo 0 o 1. Il problema è che la seconda variabile quando provo a controllarla va nell'iperspazio e assume valori che non hanno alcun senso fisico. Sapete come posso fare? Vorrei ...

Ciao a tutti.
Devo risolvere vari sistemi di N equazioni lineari in 8 incognite (con \(\displaystyle N\geq 8 \)) in cui i termini noti non sono "precisi", poiché approssimati all'intero più vicino. Le 8 incognite sono reali positive (non nulle).
Cerco di spiegarmi con questo esempio inventato:
\(\displaystyle ...


Buonasera a tutti,
qualcuno potrebbe darmi una mano nella risoluzione di questo esercizio?
Devo trovare la retta ortogonale a queste due:
r: {x = 1 + t ; y = 2; z = t + 2
s: {x = 1; y = z
Ringrazio in anticipo tutti

Buongiorno a tutti,
Mi trovo di fronte a un esercizio di fisica che mi sta causando qualche difficoltà. Vorrei chiedere il vostro aiuto per capire dove sto commettendo degli errori.
L'esercizio riguarda
Passo 1: Calcolare la distanza percorsa durante il tempo di reazione dell'autista.
Durante il tempo di reazione dell'autista,
il furgone continua a muoversi a una velocità costante.
La formula per calcolare la distanza percorsa durante questo tempo è:
Distanza durante ...

Sto studiando analisi funzionale da autodidatta e senza pretese di eccessivo rigore, ma non mi è chiarissima la definizione di distribuzione.
Ho capito che si tratta di un'estensione del concetto di funzione, ma non capisco bene quale sia la differenza tra distribuzioni e funzioni? In che senso una distribuzione non è una funzione? Potete darmi una spiegazione il più possibile semplice?
Grazie mille per l'aiuto
Un integrale complesso è definito come:
$ \int_\gamma f(z) dz = \int_\gamma udx-vdy + i\int_\gamma udy+vdx = \int_a^b f(z(t)) \cdot z'(t) dt $
(con $ \gamma $ orientato positivamente e con $ z = z(t), t\in[a,b] $ sua parametrizzazione)
Sia la prof che il libro, definiscono in modo veloce e senza troppe spiegazioni l'integrale come:
$ \int_\gamma f(z) ds = \int_a^b f(z(t)) ||z'(t)|| dt $
Ora, una funzione complessa di variabile complessa possiamo vederla come una funzione vettoriale, per cui $ f $ è associata ad una forma differenziale di coefficienti $ u(x,y) $ e $ v(x,y) $, da cui la ...

Buonasera, ho iniziato da poco matematica finanziaria e stavo studiando gli esercizi già svolti presenti sul libro quando sono arrivata alla struttura dei tassi.
L'esercizio che mi sta dando problemi si presenta così
Considera la seguente struttura dei tassi semplici su 4 scadenze:
T 2m 3m 5m 6m
j(T) 2% 2.5% 2.8% 3.2%
Quali valori del tasso j a 4 mesi sono ammissibili affinché la funzione montante m(T) sia crescente in T?
La soluzione indica:
Essendo la struttura ...
Buonasera, Ho bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio: Determinare asse e vertice della parabola: 4x^2+y^2+4xy - 4y -5= 0
Salve potreste aiutarmi a cogliere le differenze tra queste due formulazioni?
Thm 1
Sia $Isubseteq R$ un intervallo, $f:I->R$ continua in $I$. Sia $ain I$. Poniamo $F(x):=int_(a)^x f(t)dt forall a in I$. Sia $G$ una primitiva di $f$ allora $exists c in R" "t.c." "G(x)=int_a^x f(t)dt+c" "forallx in I$ e inoltre $forall alpha,beta in I : G(beta)-G(alpha)=int_(alpha)^betaf(t)dt$
Thm 2
Sia $Isubseteq R$ un intervallo, $f:I->R$ una funzione continua e derivabile con derivata prima continua ($f in C^1(I)$) allora ...

Ciao ragazzi,
avrei bisogno di aiuto per togliermi questo dubbio sul calcolo del coefficiente punto-biseriale. Premetto che la statistica non è proprio il mio forte, quindi mi scuso in anticipo se la domanda che farò apparirà stupida.
Sul mio testo di riferimento, c'è scritto che come prima cosa vanno ordinati i dati in tabella dividendo i casi in base alla variabile dicotomica e che arbitrariamente si sceglie di inserire prima i partecipanti che, ad esempio, hanno espresso parere favorevole ...
Esistono casi in cui il gruppo di galois deve essere necessariamente un gruppo ciclico?