Differenza formulazioni teorema di Torricelli
Salve potreste aiutarmi a cogliere le differenze tra queste due formulazioni?
Thm 1
Sia $Isubseteq R$ un intervallo, $f:I->R$ continua in $I$. Sia $ain I$. Poniamo $F(x):=int_(a)^x f(t)dt forall a in I$. Sia $G$ una primitiva di $f$ allora $exists c in R" "t.c." "G(x)=int_a^x f(t)dt+c" "forallx in I$ e inoltre $forall alpha,beta in I : G(beta)-G(alpha)=int_(alpha)^betaf(t)dt$
Thm 2
Sia $Isubseteq R$ un intervallo, $f:I->R$ una funzione continua e derivabile con derivata prima continua ($f in C^1(I)$) allora $forall alpha,beta in I : f(beta)-f(alpha)=int_(alpha)^betaf'(t)dt$
Esclusa la prima parte del teorema 1 qual è la differenza?
Quale potrebbe essere un abbozzo di dimostrazione per il teorema 2? Nel primo caso è semplice, ho $G(x)=int_a^x f(t)dt+c$ quindi mi basta solo sostituire e usare l'additività dell'integrale. Nel secondo caso? $f$ è una primitiva di $f'$, stessa cosa no?
P.S. offtopic: qual è il codice per scrivere i simboli insiemistici dei numeri reali ecc? Su Word uso \double seguito dalla lettera che voglio, qui non funziona.
Grazie mille!
Thm 1
Sia $Isubseteq R$ un intervallo, $f:I->R$ continua in $I$. Sia $ain I$. Poniamo $F(x):=int_(a)^x f(t)dt forall a in I$. Sia $G$ una primitiva di $f$ allora $exists c in R" "t.c." "G(x)=int_a^x f(t)dt+c" "forallx in I$ e inoltre $forall alpha,beta in I : G(beta)-G(alpha)=int_(alpha)^betaf(t)dt$
Thm 2
Sia $Isubseteq R$ un intervallo, $f:I->R$ una funzione continua e derivabile con derivata prima continua ($f in C^1(I)$) allora $forall alpha,beta in I : f(beta)-f(alpha)=int_(alpha)^betaf'(t)dt$
Esclusa la prima parte del teorema 1 qual è la differenza?
Quale potrebbe essere un abbozzo di dimostrazione per il teorema 2? Nel primo caso è semplice, ho $G(x)=int_a^x f(t)dt+c$ quindi mi basta solo sostituire e usare l'additività dell'integrale. Nel secondo caso? $f$ è una primitiva di $f'$, stessa cosa no?
P.S. offtopic: qual è il codice per scrivere i simboli insiemistici dei numeri reali ecc? Su Word uso \double seguito dalla lettera che voglio, qui non funziona.
Grazie mille!
Risposte
Ciao paolo1712,
La seconda formulazione mi sembra sia il Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue
Una funzione $f$ definita sull'intervallo compatto $I$ a valori in $\RR $ è assolutamente continua se possiede una derivata $f'$ definita quasi ovunque ed integrabile secondo Lebesgue tale che:
$ f(x) = f(a) + \int_a^x f′(t) \text{d}t $
$\AA x \in I $
$\RR $
La seconda formulazione mi sembra sia il Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue
Una funzione $f$ definita sull'intervallo compatto $I$ a valori in $\RR $ è assolutamente continua se possiede una derivata $f'$ definita quasi ovunque ed integrabile secondo Lebesgue tale che:
$ f(x) = f(a) + \int_a^x f′(t) \text{d}t $
$\AA x \in I $
"paolo1712":
P.S. offtopic: qual è il codice per scrivere i simboli insiemistici dei numeri reali ecc?
$\RR $
$\RR $
Ok quindi non c'entra nulla con Torricelli o gli integrali di Riemann?
Vorrei sapere se la dimostrazione di tale teorema è fuori dalla mia portata o meno, servono concetti di teoria della misura? E' dimostrabile con le competenze di uno studente che sta preparando Analisi 2?
Vorrei sapere se la dimostrazione di tale teorema è fuori dalla mia portata o meno, servono concetti di teoria della misura? E' dimostrabile con le competenze di uno studente che sta preparando Analisi 2?
Ma no pilloeffe, la stai facendo troppo complicata. Cioè, quello che dici è vero, ma la domanda non era su questo. Il teorema citato da Paolo richiede che \(f\) sia continua con derivata continua, quindi non occorre scomodare le funzioni assolutamente continue.
@Paolo: i due teoremi sono molto simili ma non identici. Nel primo caso, si integra una funzione arbitraria, nel secondo, si integra la derivata di una funzione data. Le dimostrazioni dovresti proprio averle viste ad Analisi 1! Non a caso, questi si chiamano "teoremi fondamentali" del calcolo integrale.
O forse ti riferivi al teorema citato da Pilloeffe? In questo caso, io aspetterei a vederne la dimostrazione, non è poi così importante e richiede di studiare un sacco di concetti previ.
@Paolo: i due teoremi sono molto simili ma non identici. Nel primo caso, si integra una funzione arbitraria, nel secondo, si integra la derivata di una funzione data. Le dimostrazioni dovresti proprio averle viste ad Analisi 1! Non a caso, questi si chiamano "teoremi fondamentali" del calcolo integrale.
O forse ti riferivi al teorema citato da Pilloeffe? In questo caso, io aspetterei a vederne la dimostrazione, non è poi così importante e richiede di studiare un sacco di concetti previ.
Sicuramente è questo il teorema, perché Lebesgue non è stato minimamente trattato.
Non mi è chiara la differenza però. Cioè a livello analitico sono la stessa cosa?
La dimostrazione del primo teorema ce l'ho ed è abbastanza semplice, mi chiedevo se quella del secondo, a questo punto, fosse identica.
"dissonance":
@Paolo: i due teoremi sono molto simili ma non identici. Nel primo caso, si integra una funzione arbitraria, nel secondo, si integra la derivata di una funzione data. Le dimostrazioni dovresti proprio averle viste ad Analisi 1! Non a caso, questi si chiamano "teoremi fondamentali" del calcolo integrale.
Non mi è chiara la differenza però. Cioè a livello analitico sono la stessa cosa?
La dimostrazione del primo teorema ce l'ho ed è abbastanza semplice, mi chiedevo se quella del secondo, a questo punto, fosse identica.
Paolo, dovresti proprio aprire un libro di Analisi. TUTTI i libri di analisi hanno la dimostrazione di questi due teoremi. Mi pare di ricordare che molti autori italiani chiamano il primo dei due teoremi che hai citato "teorema fondamentale del calcolo integrale", mentre il secondo è la "formula fondamentale del calcolo integrale".
Sono sicuro che uno implica l'altro.
Sono sicuro che uno implica l'altro.
Ho l'Acerbi Buttazzo sotto mano insieme ai miei appunti. Sotto il nome Teorema fondamentale del calcolo integrale c'è il seguente enunciato:
Sia $f$ una funzione continua su un intervallo $I$ e sia $a\in I$. Allora la funzione $F:I->RR$ definita da $F(x)=int_a^x f(t) dt$ è una primitiva di $f$ su $I$. E questo coincide anche con i miei appunti.
Poi il libro prosegue con il Teorema di Torricelli il cui enunciato è uguale al $Thm 1$ che ho esposto sopra. Dopodiché niente, nell'appendice c'è una versione più fine del teorema fondamentale ma che non rassomiglia al $Thm 2$.
Ho anche dato uno sguardo al pdf del Marcellini-Sbordone e al nome Formula fondamentale del calcolo integrale corrisponde la seconda parte del $Thm 1$ che ho scritto.
Comunque la mia preoccupazione principale non era la dimostrazione, ma comprendere la differenza
Sia $f$ una funzione continua su un intervallo $I$ e sia $a\in I$. Allora la funzione $F:I->RR$ definita da $F(x)=int_a^x f(t) dt$ è una primitiva di $f$ su $I$. E questo coincide anche con i miei appunti.
Poi il libro prosegue con il Teorema di Torricelli il cui enunciato è uguale al $Thm 1$ che ho esposto sopra. Dopodiché niente, nell'appendice c'è una versione più fine del teorema fondamentale ma che non rassomiglia al $Thm 2$.
Ho anche dato uno sguardo al pdf del Marcellini-Sbordone e al nome Formula fondamentale del calcolo integrale corrisponde la seconda parte del $Thm 1$ che ho scritto.
Comunque la mia preoccupazione principale non era la dimostrazione, ma comprendere la differenza
Questa cosa mi sembra veramente incredibile. Non c'è scritto che l'integrale della derivata è la differenza dei valori al bordo?!?
Comunque, facciamo prima a dimostrarci il Teorema 2 (Formula fondamentale del calcolo) da soli, assumendo il Teorema 1 (Teorema fondamentale del calcolo). Definiamo
\[
F(x)=\int_a^x f'(y)\, dy.\]
Per il Teorema 1, \(F'(x)=f'(x)\) per ogni \(x\in (a, b)\). Quindi \(F(x)=f(x)+C\) per una costante \(C\in\mathbb R\). Ma siccome \(F(a)=0\), segue che \(0=f(a)+C\), e possiamo concludere
\[
F(x)=f(x)-f(a).\]
Ponendo \(x=b\) concludiamo la dimostrazione.
Comunque, facciamo prima a dimostrarci il Teorema 2 (Formula fondamentale del calcolo) da soli, assumendo il Teorema 1 (Teorema fondamentale del calcolo). Definiamo
\[
F(x)=\int_a^x f'(y)\, dy.\]
Per il Teorema 1, \(F'(x)=f'(x)\) per ogni \(x\in (a, b)\). Quindi \(F(x)=f(x)+C\) per una costante \(C\in\mathbb R\). Ma siccome \(F(a)=0\), segue che \(0=f(a)+C\), e possiamo concludere
\[
F(x)=f(x)-f(a).\]
Ponendo \(x=b\) concludiamo la dimostrazione.
Non so che dirti, forse sono stonato io e non vedo nulla di simile.
Comunque vi ringrazio entrambi!
Comunque vi ringrazio entrambi!
"paolo1712":
Comunque la mia preoccupazione principale non era la dimostrazione, ma comprendere la differenza
I due teoremi dicono che fare la funzione integrale e la derivata sono operazioni inverse, nei 2 ordini diversi di comporre queste operazioni, poi le ipotesi sono diverse perchè in ogni caso c'è bisogno delle ipotesi apposite per far funzionare tutto.
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