Prodotti scalari e somma diretta
Ecco l'esercizio che non mi torna:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione 2. Sia $f$ un 'applicazione invertibile e sia Z un sottospazio $f$-invariante di $V$. Esiste una decomposizione in somma diretta $V=Z+Z'$ tale che anche $Z'$ sia $f$-invariante??
Io purtroppo non ho idee...
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione 2. Sia $f$ un 'applicazione invertibile e sia Z un sottospazio $f$-invariante di $V$. Esiste una decomposizione in somma diretta $V=Z+Z'$ tale che anche $Z'$ sia $f$-invariante??
Io purtroppo non ho idee...
Risposte
E che c'entra il prodotto scalare? Comunque, rifletti sul significato di applicazione diagonalizzabile. In particolare, cosa fanno le applicazioni non diagonalizzabili? Prova a prendere una $f$ non diagonalizzabile e riflettici un po' su.
Si scusatemi!! la parte sui prodotti scalari è la seguente (che non mi è riuscita ugualmente:
"se $phi$ è un prodotto scalare non degenere su $V$ e $f$ appartiene al gruppo ortogonale (quindi credo sia un'isometria, correggetemi se sbaglio!!), esiste na decomposizione in somma diretta $V=Z+Z'$ tale che anche $Z'$ sia $f$-invariante??"
Comunque tornando al primo quesito... bè... so che le applicazioni diagonalizzabili diagonalizzano la matrice, e quindi riesco a trovare due sottospazi distinti (prendo Z= span( $v1$ ) e Z'=span($v2$), dove $v1$ e $v2$ sono gli elementi sulla diagonale..., e quindi siccome $phi$(v1,v2)=$phi$(v2,v1)=0, sono due sottospazi la cui intersezione è vuota??)... se invece non è diagonalizzabile non riesco a distinguere questi due Z e Z'... ho deto bene o non ho detto nulla?? e sulla domanda che ho postato ora saprestii darmi un consiglio??
"se $phi$ è un prodotto scalare non degenere su $V$ e $f$ appartiene al gruppo ortogonale (quindi credo sia un'isometria, correggetemi se sbaglio!!), esiste na decomposizione in somma diretta $V=Z+Z'$ tale che anche $Z'$ sia $f$-invariante??"
Comunque tornando al primo quesito... bè... so che le applicazioni diagonalizzabili diagonalizzano la matrice, e quindi riesco a trovare due sottospazi distinti (prendo Z= span( $v1$ ) e Z'=span($v2$), dove $v1$ e $v2$ sono gli elementi sulla diagonale..., e quindi siccome $phi$(v1,v2)=$phi$(v2,v1)=0, sono due sottospazi la cui intersezione è vuota??)... se invece non è diagonalizzabile non riesco a distinguere questi due Z e Z'... ho deto bene o non ho detto nulla?? e sulla domanda che ho postato ora saprestii darmi un consiglio??
Non hai detto nulla. Peggio, hai detto un guazzabuglio di cose prive di senso. Fai attenzione.
Rifletti sul fatto che un autospazio di un endomorfismo lineare $phi$ è un particolare sottospazio $phi$-invariante. Inoltre, un sottospazio $phi$-invariante di dimensione uno è per forza un autospazio (Perché?). Quindi, supponi che nel tuo esercizio una decomposizione in somma diretta come richiede la traccia esista. Cosa puoi concludere su $phi$?
Rifletti sul fatto che un autospazio di un endomorfismo lineare $phi$ è un particolare sottospazio $phi$-invariante. Inoltre, un sottospazio $phi$-invariante di dimensione uno è per forza un autospazio (Perché?). Quindi, supponi che nel tuo esercizio una decomposizione in somma diretta come richiede la traccia esista. Cosa puoi concludere su $phi$?
Un sottospazio di dimensione 1 è per forza autospazio poichè $f(Z)$, con $dimZ$=1, è uguale allo span di un unico vettore $v$, e tutti i vettori di Z saranno della forma $av$, con$a$ scalare, poichè Z è l'autospazio relativo all'autovettore v relativo a sua volta all'autovalore 1... giusto?!? e quindi ho trovato che Z è un autospazio... Se esiste una $phi$ che mi da la decomposizione in somma diretta, posso concludere che $phi$ sia diagonalizzabile... però non riesco ugualmente a venirne a capo :s
Madonna santa che casino che combini.
Vedi, tu a fare confusione sei partito da una idea giusta e sei arrivato ad una conclusione sbagliata: non è mica detto che l'autovalore sia per forza $1$.
$phi$ possiede le proprietà richieste $=>$ $phi$ è diagonalizzabile.
Allora, come puoi completare la seguente implicazione?
$phi$ NON è diagonalizzabile $=>$ ?
Che rilevanza ha questo, ai fini dell'esercizio?
Un sottospazio di dimensione 1 è per forza autospazio poichè $f(Z)$, con $dimZ$=1, è uguale allo span di un unico vettore $v$, e tutti i vettori di Z saranno della forma $av$, con$a$ scalare, poichè Z è l'autospazio relativo all'autovettore v relativo a sua volta all'autovalore 1... giusto?!? e quindi ho trovato che Z è un autospazio...Ti sembra avere un senso questo inguacchio qua? Poi perchè l'autovalore 1? La risposta è concisa e semplice. Sia $Z$ un sottospazio $phi$-invariante di dimensione 1. Per definizione esiste un vettore $0 ne v \in Z$ tale che $Z={lambda v | lambda in RR}$ (limitiamoci a spazi vettoriali reali tanto per non introdurre molti simboli). Sempre per definizione $phi(v)$ è ancora in $Z$ e quindi esiste $\lambda_0 \in RR$ tale che $phi(v)=lambda_0v$, ovvero $v$ è un $lambda_0$-autovettore e $Z$ un $lambda_0$-autospazio di $phi$.
Vedi, tu a fare confusione sei partito da una idea giusta e sei arrivato ad una conclusione sbagliata: non è mica detto che l'autovalore sia per forza $1$.
Se esiste una φ che mi da la decomposizione in somma diretta, posso concludere che φ sia diagonalizzabile...Esatto. E allora, come concludi? Forza che qui siamo alle basi del ragionamento. Hai mostrato che
$phi$ possiede le proprietà richieste $=>$ $phi$ è diagonalizzabile.
Allora, come puoi completare la seguente implicazione?
$phi$ NON è diagonalizzabile $=>$ ?
Che rilevanza ha questo, ai fini dell'esercizio?
Bè... sicuramente se $phi$ non è diagonalizzabile allora non ci sono autospazi di dimensione 1, quindi avrò un unico autovalore avente autospazio di dimensione 1 (altrimenti sarebbe diagonalizzabile), e quindi la forma più semplice in cui posso scrivere l'endomorfismo è la forma di jordan... e quindi ho un enodmorfismo triangolabile... e così a naso mi sa che devo prendere una base a bandiera... ovvero: base di V= {$v1$, $v1 + v2$}, e questo mi sa di scomposizione in somma diretta... sono ancora adnato lontano??
Comunque il discorso dell'autovalore generico e non 1 particolare l'ho capito!! praticamente se avesse autovalore 1, Z non sarebbe solamente $phi$-invariante, ma sarebbe proprio l'identità su Z... giusto?!?
Comunque il discorso dell'autovalore generico e non 1 particolare l'ho capito!! praticamente se avesse autovalore 1, Z non sarebbe solamente $phi$-invariante, ma sarebbe proprio l'identità su Z... giusto?!?
Per l'esercizio, ci rinuncio. Ecco, guarda un possibile svolgimento corretto, confronta con lo sproloquio che hai scritto nell'ultimo post:
Svolgimento: La risposta alla domanda posta è no. Un endomorfismo con le proprietà richieste, infatti, deve necessariamente essere diagonalizzabile. Ma come sappiamo in ogni spazio vettoriale di dimensione maggiore di 1 esistono endomorfismi non diagonalizzabili e che quindi non possono avere le proprietà richieste.
Fine.
Cerca di concentrarti. Ogni volta tiri fuori mezza algebra lineare completamente a casaccio quando invece è sufficiente tenere a mente le definizioni fondamentali e usarle bene.
Per quanto riguarda l'autovalore 1, sì è esatto.
Svolgimento: La risposta alla domanda posta è no. Un endomorfismo con le proprietà richieste, infatti, deve necessariamente essere diagonalizzabile. Ma come sappiamo in ogni spazio vettoriale di dimensione maggiore di 1 esistono endomorfismi non diagonalizzabili e che quindi non possono avere le proprietà richieste.
Fine.
Cerca di concentrarti. Ogni volta tiri fuori mezza algebra lineare completamente a casaccio quando invece è sufficiente tenere a mente le definizioni fondamentali e usarle bene.
Per quanto riguarda l'autovalore 1, sì è esatto.
Giusto giusto!! io cercavo di incaponirmi cercando una casistica completa, e invece la domanda era più semplice: "ESISTE SEMPRE un endomorfismo...." e invece cercavo di trovare i casi in cui mi adnasse bene... ho capito!!
E per quanto riguarda l'altro quesito sai darmi una mano??
"se φ è un prodotto scalare non degenere su V e f appartiene al gruppo ortogonale (quindi credo sia un'isometria, correggetemi se sbaglio!!), esiste na decomposizione in somma diretta V=Z+Z' tale che anche Z' sia f-invariante??"
Grazie mille cmq per la prima parte!!
E per quanto riguarda l'altro quesito sai darmi una mano??
"se φ è un prodotto scalare non degenere su V e f appartiene al gruppo ortogonale (quindi credo sia un'isometria, correggetemi se sbaglio!!), esiste na decomposizione in somma diretta V=Z+Z' tale che anche Z' sia f-invariante??"
Grazie mille cmq per la prima parte!!
SCusa se continuo a postare qui... però forse ho una soluzione... mi puoi dire se l'ho cannata ancora una volta oppure stavolta sono sulla buona strada?? sempre riguardo alla parte seguente:
"se φ è un prodotto scalare non degenere su V e f appartiene al gruppo ortogonale (quindi credo sia un'isometria, correggetemi se sbaglio!!), esiste na decomposizione in somma diretta V=Z+Z' tale che anche Z' sia f-invariante??"
Io pensavo che per quanto visto nel primo esercizio, devo solo analizzare il caso in cui f sia non diagonalizzabile... quindi ortogonalizzo la matrice del prodotto scalare, che per il teorema di sylvester ha $+-1$ e $+-1$ sulla diagonale (non può esserci $0$ perchè l'ho definita non degenere) e quindi vedere se è possibile avere un'isometria non diagonalizzabile con questo prodotto scalare... giusto??
"se φ è un prodotto scalare non degenere su V e f appartiene al gruppo ortogonale (quindi credo sia un'isometria, correggetemi se sbaglio!!), esiste na decomposizione in somma diretta V=Z+Z' tale che anche Z' sia f-invariante??"
Io pensavo che per quanto visto nel primo esercizio, devo solo analizzare il caso in cui f sia non diagonalizzabile... quindi ortogonalizzo la matrice del prodotto scalare, che per il teorema di sylvester ha $+-1$ e $+-1$ sulla diagonale (non può esserci $0$ perchè l'ho definita non degenere) e quindi vedere se è possibile avere un'isometria non diagonalizzabile con questo prodotto scalare... giusto??
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo