Perchè polinomio caratteristico uguale a zero?

[vitos1]

Gentili signori del forum, supponiamo di voler determinare gli autovalori di un endomorfismo.
Considero un endomorfismo T sul campo K e seleziono una base qualunque dello spazio V, tale che
la trasformazione si scrive: y = A x . In questo caso, utilizzando le
coordinate del generico vettore v , la condizione affinché esista un autovettore è:
Ax = λx -> Ax= λIx -> x(A-λI)=0 . Affinché esista un tale vettore non nullo, occorre che la
matrice A-λI sia singolare, cioè det(x(A-λI))=0 .

Perchè il determinante deve essere uguale a zero?

Grazie

[Gi81]

Una matrice è detta singolare se ha determinante nullo . E' una definizione

[Camillo]

Il determinante di quella matrice deve essere $0 $ altrimenti l'equazione matriciale avrebbe una sola soluzione , quella nulla , che non ha alcun interesse.

[vitos1]

Grazie Gi8, questo mi è chiaro. Ma perchè la matrice A-λI deve essere singolare?

[vitos1]

Grazie Camillo, ma secondo quale teorema? Grazie ancora

[Gi81]

Saprai certamente che $Ker(M)={ul0}<=> det(M)!=0$

(ricordo che $Ker(M)={ulx in RR^n| M*ulx=ul0}$)

[vitos1]

Ma la soluzione data da Camillo è collegata al teorema di Rouche- Capelli? Scusate sto facendo un pò di confusione, inoltre non riesco a trovare nel libro il teorema postato da Gi8. Gradirei risposte più argomentate. Vi ringrazio anticipatamente.

[Gi81]

Tutto deriva da questo teorema:

Sia $M in ccM_n (RR)$ (matrice quadrata di ordine $n$ a coefficienti in $RR$). Allora $rg(M)+dim(Ker(M))=n$

Qui c'è un abbozzo di dimostrazione.

Da questo discende immediatamente ciò che ho scritto prima:
infatti $Ker(M)={ul0}<=>dim(Ker(M))=0<=> rg(M)=n<=> det(M)!=0$