Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao. ho questo esercizio.
(Esercizio) \begin{align*}
C_1 &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x+3)^2 + y^2 < 1 \} \\
C_2 &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x+3)^2 + y^2 \leq 4 \} \\
K &:= [-1, 1] \times [-1, 1] \times [-1, 1] \\
S &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x-3)^2 + y^2 + z^4 = 4 \} \\
X &:= (C_2 \cup K \cup S) \setminus C_1
\end{align*}
(1) Descrivere un rivestimento connesso di \(X\) a \(4\) fogli.
(2) Trovare un rivestimento univerale di \(X\) --- o di uno spazio ...
Tutte le matrici con polinomio minimo $(x-1)(x+1)^2$ sono triangolarizzabili in $RR$.
Vorrei sapere se questa spiegazione che ho dato è esaustiva:
Noi sappiamo che il polinomio minimo è invariante per estensione di campo, quindi se passo da $RR$ a $CC$ il polinomio minimo rimane uguale. Ora sappiamo che il polinomio minimo ha come radici gli autovalori, quindi $pm1$ sono gli autovalori. Siccome $CC$ è un campo algebricamente ...
Salve a tutti.
Sto affrontando la teoria delle rappresentazioni e volevo alcuni chiarimenti sulle rappresentazioni completamente riducibili. Dalla definizione che ho sul mio testo ho che una rappresentazione di dimensione finita è completamente riducibile se è equivalente/isomorfa alla somma diretta di finite rappresentazioni irriducibili.
Quindi per verificare che una rappresentazione sia completamente riducibile devo trovare altre rappresentazioni di dimensione minore che agiscono su ...
Scrivere le matrici ortogonali di ordine $4$.
A mio avviso le uniche matrici di ordine $4$ ortogonali sono $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,-sin\theta),(0,0,sin\theta,cos\theta))$, $((cos\theta,-sin\theta,0,0),(sin\theta,cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$,$((cos\theta,sin\theta,0,0),(sin\theta,-cos\theta,0,0),(0,0,cos\theta,sin\theta),(0,0,sin\theta,-cos\theta))$. Non credo ce ne siano altre, voi che dite?
Ciao , ho questo esercizietto base, ma sul quale ho qualche esitazione.
(Esercizio) Sia la curva \(\alpha : \mathbb R \to \mathbb R^3\), \(\alpha(t) := (\cos t, \sin t, t)\) e la superficie elementare \(x : \mathbb R \times (0, +\infty) \to \mathbb R ^3\), \(x(u, v) := (u \cos v, u \sin v, 1+v-u)\).
(1) Verificare che il sostgno di \(\alpha\) è contenuto in quello di \(x\).
(2) Calcolare la curvatura normale e geodetica di \(\alpha\). Stabilire se \(\alpha\) è geodetica.
Guardando un po' ...
Nel mentre che svolgevo degli esercizi di geometria, mi è venuta in mente questa domanda:
noi sappiamo che ogni matrice $AinM_n(RR)$ simmetrica è ortogonalmente simile a una matrice diagonale, ma si può dire che nel campo $RR$ ogni matrice diagonale è ortogonalmente simile almeno a una simmetrica non diagonale? Sicuramente il polinomio caratteristico gioca un ruolo importante dato che per il teorema spettrale la matrice simmetrica è ortogonalmente simile a una matrice ...
Sia $<,>$ la forma bilineare simmetrica definita positiva su $M_n(RR)$ tale che $<X,Y> =Tr(XY^T)$ con $X,Y in M_n(RR)$. Sia $A in M_n(RR)$ matrice simmetrica, definiamo $F$ l'endomorfismo autoaggiunto (rispetto a $<,>$) di $M_n(RR)$: $F(X)=AXA$ con $X in M_n(RR)$. Determinare il polinomio minimo di $F$ in termini di quello di $A$. (Hint: usare il teorema spettrale)
Buongiorno volevo sapere se poteste farmi un esempio di una matrice non diagonalizzabile in campo complesso. Grazie.
Sia $f in End(V)$ la cui forma di Jordan è $((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,2,1),(0,0,0,2))$. Dimostrare che $f$ ha un numero finito di sottospazi invarianti.
Io ho impostato così il procedimento:
Innanzitutto elenco i sottospazi $W$ $f-$invarianti noti:
Se $dimW=0$ l'unico sottospazio $f-$invariante è ${0}$.
Se $dimW=1$ considero come sottospazi $f-$invarianti gli autospazi $V_1=span{e_1}$ e $V_2=span{e_3}$.
Se ...
Ciao a tutti, non riesco ad affrontare questo esercizio:
Se \(\displaystyle S \in \mathbb{R^{n,n}} \) è una matrice simmetrica tale che \(\displaystyle S^m=0 \) per qualche \(\displaystyle m \), cosa possiamo dire degli autovalori di \(\displaystyle S \)? La matrice è necessariamente nulla?
Ciò che so è che una matrice simmetrica ha esclusivamente autovalori reali, mentre per il resto è facile verificare che:
\(\displaystyle S^m = 0 \)
\(\displaystyle S^m\mathbf{v}=\lambda^m\mathbf{v} = ...
Siano $A$ e $B$ due matrici antisimmetriche in $M_3$($RR$). Dimostrare che se $A$ e $B$ hanno stesso polinomio caratteristico sono ortogonalmente simili.
Trascrivo qua sotto il ragionamento parziale che ho fatto ma che non sono riuscito a concludere:
Innanzitutto la prima cosa che ho osservato che siccome l'ordine delle matrici antisimmetriche è $3$ (ovvero dispari) si ha che il determinante è nullo ...
Salve a tutti.
Ho un dubbio.
In una dimostrazione in un testo di Meccanica Razionale con le matrici ortogonali, quindi quelle il cui prodotto tra loro e le loro trasposte dà la matrice unità, è riportata la frase, utilizzando il simbolo di Kronecker $\delta$ :
"data la matrice ortogonale A, si ha che $(A_kq)^t A_qr = \delta_kr$ , con t che indica la trasposta e gli indici nel pedice."
Però se k=r e quindi $\delta_kr=1$ per me quella operazione viene $A_qk A_qr$ che per k=r dà ...
Ciao a tutti, stavo tentando di risolvere il seguente esercizio di topologia:
Si consideri $\mathbb(R)$ con la topologia cofinita $\tau_(cof)$ definita da: $A\in\tau_(cof)$ se e solo se $A=\mathbb(R)$ oppure $\mathbb(R)\setminus A$ è un insieme di cardinalità finita.
Dunque i chiusi della topologia sono gli insiemi con cardinalità finita.
Chiamiamo $X=(\mathbb(R),\tau_(cof))$ e sia $Y$ invece $\mathbb(R)$ con la usuale topolgia euclidea.
Consideriamo il sottospazio ...
Supponiamo di avere un insieme \(X\) di generatori per il gruppo libero \(FX\), e però supponiamo che in aggiunta \(X\) sia uno spazio metrico.
Esiste un modo di mettere su \(FX\) una metrica \(d_{FX} : FX\times FX \to \mathbb R_\ge\) che sia "compatibile" con l'operazione di gruppo e universale con questa proprietà?
Quello che voglio realizzare è questo: per la proprietà universale del gruppo libero, ogni funzione \(f : X \to G\) dove \(G\) è un gruppo si estende a un omomorfismo di gruppi ...
Sia $n$ un intero positivo, sia $V=M_n(RR)$ e sia $A$ una matrice simmetrica di ordine $n$. Per $X, Y ∈ V$, si definisce: $B(X,Y)=Tr(X^TAY)$
Dimostrare che se $B$ è non degenere allora la matrice $A$ è invertibile.
Io facendo delle prove con le matrici ho notato che (chiamata $C$ la matrice della forma bilineare simmetrica $B$ rispetto alla base canonica di $M_n(RR)$) ...
Ho bisogno di qualche chiarimento sulla dimostrazione del teorema di Lagrange inerente alla esistenza di basi $phi$ ortogonali.
Prima di enunciare e riscrivere la dimostrazione, vi riporto due definizioni che mi serviranno.
Sia $V$ spazio vettoriale su $mathbb{K}$ tale che $dim(V)=n<+infty$, con $(e_1,e_2,...,e_n)$ una sua base.
$phi :V times V to mathbb{K}$ forma bilineare simmetrica.
1) Base $k$ ortogonale.
$(e_1,e_2,...,e_n)$ $k$ ortogonale ...
Buongiorno, sto risolvendo il seguente esercizio, dato uno spazio vettoriale $V$ tale che $dim(V)=3$ e sia $R={v_1,v_2,v_3}$ una sua base. Considero $g$ forma bilineare simmetrica con matrice$ G=( ( -3 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $ rispetto $R$.
Voglio determinare: verificare che $g$ è non degenere, base $g$ ortogonale, segnatura di $g$, e la forma canonica associata a $g$.
Per verificare che ...
Buongiorno, ho due problemi che non riesco a risolvere che non riesco a concludere, il primo di algebra, i, secondo di geometria.
1) Ho un insieme $U=\{(\beta,\alpha,2\beta,3\beta-5\alpha)\in\mathbb R^4:\alpha,\beta\in\mathbb R\}$ e uno spazio $W_k$ che ha come base l’insieme $\{(0,-1,0,k+1),(1,0,k,1),(1,-1,2,2k)\}$.
Devo determinare per quali valori di $k$ risulta che $U$ è sottospazio vettoriale di $W_k$.
Io ho scritto che $U=<(1,0,2,3),(0,1,0,-5)>$ è quindi pensavo di considerare la matrice che contiene i 5 vettori delle basi e ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
(i) Trovare una matrice invertibile che non sia diagonalizzabile
(ii) Trovare una matrice diagonalizzabile che non sia invertibile
Il primo punto non so, non riesco a farlo, il secondo ho preso la prima matrice con determinante nullo che mi è capitata e ho provato a diagonalizzarla...
(ii) presa la matrice unitaria di ordine 2 i suoi autovalori saranno 2 e distinti, per l'esattezza \(\displaystyle \lambda_1=0 \wedge \lambda_2 = 2 ...
Salve a tutti, sono nuovo in questo forum e stavo cercando di risolvere una questione legata alla misurazione di angoli tra due vettori liberi un radianti. Come dimostro che la definizione dell ampiezza dell angolo è ben posta?
Mi spiego meglio, se prendo due vettori u e v applicati in O, e successivamente prendo u’ e v’ equipollenti rispettivamente ad u e v applicati in O’, come dimostro che la misura dell’ angolo convesso tra u e v è uguale all angolo convesso tra u’ e v’?
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