Geometria e Algebra Lineare

Ringrazio in anticipo chiunque sia così gentile da darmi una mano. Sto seguendo il mio primo corso di algebra lineare e sto studiando dal libro "Lezioni di Geometria I" di Ferruccio Orecchia. Il libro è molto poco friendly (contiene pochissimi esempi ed in 3 capitoli che per ora ho letto 1 solo esercizio) ed è, in generale, molto sintetico nelle dimostrazioni. Purtroppo, sebbene ci abbia pensato per diverse ore, non riesco a sciogliere un nodo sulla dimostrazione di un lemma di base, cioè ...

Sia (TopT2) la categoria i cui oggetti sono gli spazi topologici T2 e le cui frecce sono le funzioni continue. Si provi che se $f : X-> Y$ è una freccia in (TopT2) tale che $f(X)$ è denso in $Y$ , allora $f$ è un epimorfismo in (TopT2). Affinchè $f$ sia epimorfismo mi basta mostrare che preso $ZinOb((TopT2))$ e $g_1,g_2:Y->Z$ si ha che $g_1(x)=g_2(x)$ $AAx inY\\f(X)$. Ho provato a fare per assurdo lavorando con gli aperti e ...

Consideriamo l'insieme in verde: e consideriamo la relazione di equivalenza data da due punti sono equivalente se e solo se si trovano entrambi su una delle tre circonferenze di centro $(-1,-1),(1,-1)$ e $(0,0)$ e e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente Dire se $Y$ è semplicemente connesso. Direi di no, poichè il gruppo fondamentale dovrebbe essere ...

Salve, stavo leggendo questo post: https://www.matematicamente.it/forum/ra ... t7945.html E mi è sorto un dubbio. Qui viene detto che il rango è 2 perchè il determinante di un minore al suo interno è diverso da 0. Studiando le lezioni del mio professore, viene invece spiegato che questo vale se quel minore fosse un minore fondamentale, ovvero, se il minore ha determinante != 0 e se ogni suo orlato ha determinante =0. Come mai in questo caso non è stato necessario trovare un minore fondamentale?

Ho un dubbio su una affermazione che ho letto su questo forum al link: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8435224 Stavo in particolare cercando alcune risposte sulla definitezza di una forma bilineare/prodotto scalare. La domanda che vorrei porre è questa: voglio dimostrare che: se la forma bilineare simmetrica è semidefinita (pos. o neg., ma non definita pos. o neg) => gli unici isotropi sono quelli del radicale. Nel link trovo: Se esistono altri vettori, che non siano il vettore nullo, per cui ...

Ciao, c'è una affermazione del mio professore che vorrei dimostrare: è un fatto che $(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$ Dunque: siano $W_1$ e $W_2$ sottospazi di $V$ Dimostrar(si): $(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$ Dim (mia di cui non ho molta certezza): esplicitando: 1) $x in (W_1∩W_2)^⊥ <=> x*g=0, AAg in (W_1∩W_2) <=> x*g=0, AA g in W_1 and g in W_2$ 2) $x in W_1^⊥+W_2^⊥ <=> x=w_1+w_2$ con $(w_1 in W_1^⊥ <=> w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2 in W_2^⊥ <=> w_2*k_2=0, AA k_2 in W_2)$ ⊆) scrivo $x in V$ come $x=w_1+w_2$ con $w_1,w_2 in V$, siccome per ipotesi x appartiene a $(W_1∩W_2)^⊥$ scrivo ...

Ciao a tutti, sto cercando di capire un passaggio fatto dall'esercitatore poiché nelle lezioni teoriche è stato affrontato in modo differente e non riesco a trovare un legame. Mi spiego: per la teoria so che lo spazio delle righe di una matrice ridotta ha la dimensione date dal rango e in particolare quindi avrò per riga (quelle non zere) vettori della base. Questo è molto utile per estrarre i vettori di una base per uno spazio dato caratterizzando i suoi generatori: estrazione di una base da ...

Hello. I am a British economics student, advised to come here by a friend. She said this is a very helpful and engaged forum, but she recommended i emphasise that i am an economics student, so that people know to be patient with my maths hahah! Thanks in advance! 1) Martin Anthony Linear Algebra p.g. 371, notes that $R(A) \cap N(A^T) = \{0\}$ where $R =$ Range and $N =$ Null space (kernel). - I believe this is because $N(A^T) = RS(A^T)^\bot = R(A)^\bot$ and the intersection of two orthogonal ...

Sia $X=RR^2$ munito della topologia euclidea e si consideri la seguente relazione di equivalenza: $(x_1,y_1)~(x_2,y_2)$ se $y_1=y_2$ e (${x_1,x_2}subZZ$ oppure $x_1-x_2in5ZZ$) Si considero $Y=X//~$ munito della topologia quoziente: a) Determinare se $Y$ sia compatto b) Determinare se $Y$ sia $T2$ c)Calcolare il gruppo fondamentale di $Y$ in funzione del punto $y_0$ scelto. Se si desidera usare delle ...

Ho un piccolo dubbio su questo esercizio: Data \( A=\begin{bmatrix} a & & & 1\\ & a & & \\ & & a & \\ & & & a \end{bmatrix}\). ( Ove ho omesso gli zeri al posto degli spazi vuoti per rapidità). Calcolare l'inversa di $C = A^n, n \in [2,3,...]$ Vabbè ho riconosciuto che $A = aId_4 + B$, ove \( B =\begin{bmatrix} & & & 1\\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{bmatrix}\) Anche qui stessa notazione breve per gli zeri. Le potenze di $B^n, n>1$ sono tutte nulle. Alla fine ,dopo un pò ...

Salve a tutti, mi è stato assegnato il seguente esercizio, di cui vorrei avere una conferma sulla correttezza della mia soluzione: sia \( \bf{\dot{x}} = \bf{A} \bf{x} \), ove $\vec{x} = \vec{x}(t)$ e le derivate sono da intendersi rispetto alla variabile temporale ovviamente. si trovi la soluzione per $t >0$ sapendo che $A $ è la matrice i cui elementi $A_{ij} = 1, \AA i,j$ e che $x(0) =((1),(0),(2))$ io son partito così: La soluzione è della forma $x(t) = U(t)x(0)$, ove ...

Non mi è chiara la differenza fra inclusione e immersione: Se prendo $AsubeX$ definire l'immersione $i:A->X$ non è uguale a dire che $i$ è un inclusione (forse l'inclusione è fra insiemi e l'immersione è fra spazi topologici ma essenzialmente sono la stessa cosa?) perchè immerge un insieme vuol dire metterlo in uno spazio in cui esso appartiene ma allora è se stesso (ben diverso se invece immergo un insieme in un altro insieme che ha le stesse caratteristiche del ...

Data \( \bf{\dot{x}} = A\bf{x}, \bf{x} \in \mathbb{R}^2, A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}, A \in M_2(\mathbb{R}) \) Trovare $a,b,c$ tali che $U(t)$ è unitaria, ove \( \bf{x(t)} = U(t)\bf{x(0)}, \) Io so questo: affinché $U$ sia unitaria deve essere \( UU^{\ast} = Id \) Inoltre so che $U(t) = e^{tA} $ Dunque devo avere che \( e^{tA} (e^{tA})^\ast = Id \) Non so bene come trattare questo termine $(e^{tA})^\ast $ Ho provato a scrivermi ...

Perchè se $A$ è una matrice simmetrica e alternante (cioè gli elementi diagonali sono nulli), quadrata di ordine $n$ (con $n$ dispari) su un campo di caratteristica pari si ha $\det A=0$?

Sia \( D_a(r) = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x- a \right|_p \leq r \} \) e rispettivamente \( D_a^{-} = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x - a \right|_p < r \} \) il disco chiuso centrato in \(a \) e di raggio \(r\) (e rispettivamente il disco aperto). Dimostra che \( D_a(r) , D_a^{-}(r) \) sono entrambi sottoinsiemi aperti e chiusi di \( \mathbb{C}_p\). Hint: Dimostra che \( \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x-a \right|_p = r \} \) è aperto. Allora per dimostrare che il disco chiuso è aperto ...

buongiorno, sto preparando l'esame di algebra lineare e di solito nei temi d'esame geometria non esce quasi mai. Per questo vi chiedo aiuto per questo problema Date le rette r e s di equazioni cartesiane rispettivamente r: x + y + 2z -4=2x -y + z - 5=0 e s: x - 2 = y - z - 1=0 determinare un punto P su r e un punto Q sus tali che la distanza tra P e Q sia uguale alla distanza tra r e s (cioè al minimo della distanza tra un punto di r e un punto di s). io ho calcolato la distanza ...

Non riesco ad approcciare questo problema. Ho due set di tre punti nello spazio 3D: (-10,-5,-15),(-20,-8,-45),(5,14,35) (5.8,8.4,4.6),(15.5,1.7,1.9),(-8.2,95.6,-128.3) dovrei calcolare la matrice di rotazione per allineare la seconda terna (gli asterischi) alla prima (i palllini). Potrei calcolarmi il prodotto vettoriale con i versori di riferimento. Prendendo i primi due punti, $|A x A'|$ mi calcolo la distanza nello spazio tra i due, ma poi? Fosse al contrario, ...

Buongiorno, potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio? "Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno direzioni opposte." Geometricamente lo ...

Buongiorno, vorri cercare di chiarire un dubbio riguardo il teorema di struttra delle soluzioni di un sistema lineare, il quale afferma: una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O (sistema lineare omogeneo associato). DIM: 1) data X' soluzione generica di AX=B e X'' soluzione particolare allora si ha che (X'-X'') è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare ...

Ho una seconda domanda banalotta ma che mi sta facendo riflettere e sono sicuro di aver capito appieno. So che un teorema per vedere se un sottoinsieme W è sottospazio vettoriale di V, dice che se tale sottoinsieme è chiuso rispetto alle operazioni di V (somma di vettori e prodotto per uno scalare) allora è sottospazio vettoriale. Vale inoltre il contrario, ossie è un se e solo se. La chiusura rispetto al prodotto per scalare si scrive come: per ogni $lambda in KK$ e per ogni ...