Geometria e Algebra Lineare

Consideriamo l'insieme in verde: e consideriamo la relazione di equivalenza data da due punti sono equivalente se e solo se si trovano entrambi su una delle tre circonferenze di centro $(-1,-1),(1,-1)$ e $(0,0)$ e e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente Dire se $Y$ è semplicemente connesso. Direi di no, poichè il gruppo fondamentale dovrebbe essere ...

Salve, stavo leggendo questo post: https://www.matematicamente.it/forum/ra ... t7945.html E mi è sorto un dubbio. Qui viene detto che il rango è 2 perchè il determinante di un minore al suo interno è diverso da 0. Studiando le lezioni del mio professore, viene invece spiegato che questo vale se quel minore fosse un minore fondamentale, ovvero, se il minore ha determinante != 0 e se ogni suo orlato ha determinante =0. Come mai in questo caso non è stato necessario trovare un minore fondamentale?

Ho un dubbio su una affermazione che ho letto su questo forum al link: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8435224 Stavo in particolare cercando alcune risposte sulla definitezza di una forma bilineare/prodotto scalare. La domanda che vorrei porre è questa: voglio dimostrare che: se la forma bilineare simmetrica è semidefinita (pos. o neg., ma non definita pos. o neg) => gli unici isotropi sono quelli del radicale. Nel link trovo: Se esistono altri vettori, che non siano il vettore nullo, per cui ...

Ciao, c'è una affermazione del mio professore che vorrei dimostrare: è un fatto che $(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$ Dunque: siano $W_1$ e $W_2$ sottospazi di $V$ Dimostrar(si): $(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$ Dim (mia di cui non ho molta certezza): esplicitando: 1) $x in (W_1∩W_2)^⊥ <=> x*g=0, AAg in (W_1∩W_2) <=> x*g=0, AA g in W_1 and g in W_2$ 2) $x in W_1^⊥+W_2^⊥ <=> x=w_1+w_2$ con $(w_1 in W_1^⊥ <=> w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2 in W_2^⊥ <=> w_2*k_2=0, AA k_2 in W_2)$ ⊆) scrivo $x in V$ come $x=w_1+w_2$ con $w_1,w_2 in V$, siccome per ipotesi x appartiene a $(W_1∩W_2)^⊥$ scrivo ...

Ciao a tutti, sto cercando di capire un passaggio fatto dall'esercitatore poiché nelle lezioni teoriche è stato affrontato in modo differente e non riesco a trovare un legame. Mi spiego: per la teoria so che lo spazio delle righe di una matrice ridotta ha la dimensione date dal rango e in particolare quindi avrò per riga (quelle non zere) vettori della base. Questo è molto utile per estrarre i vettori di una base per uno spazio dato caratterizzando i suoi generatori: estrazione di una base da ...

Hello. I am a British economics student, advised to come here by a friend. She said this is a very helpful and engaged forum, but she recommended i emphasise that i am an economics student, so that people know to be patient with my maths hahah! Thanks in advance! 1) Martin Anthony Linear Algebra p.g. 371, notes that $R(A) \cap N(A^T) = \{0\}$ where $R =$ Range and $N =$ Null space (kernel). - I believe this is because $N(A^T) = RS(A^T)^\bot = R(A)^\bot$ and the intersection of two orthogonal ...

Sia $X=RR^2$ munito della topologia euclidea e si consideri la seguente relazione di equivalenza: $(x_1,y_1)~(x_2,y_2)$ se $y_1=y_2$ e (${x_1,x_2}subZZ$ oppure $x_1-x_2in5ZZ$) Si considero $Y=X//~$ munito della topologia quoziente: a) Determinare se $Y$ sia compatto b) Determinare se $Y$ sia $T2$ c)Calcolare il gruppo fondamentale di $Y$ in funzione del punto $y_0$ scelto. Se si desidera usare delle ...

Ho un piccolo dubbio su questo esercizio: Data \( A=\begin{bmatrix} a & & & 1\\ & a & & \\ & & a & \\ & & & a \end{bmatrix}\). ( Ove ho omesso gli zeri al posto degli spazi vuoti per rapidità). Calcolare l'inversa di $C = A^n, n \in [2,3,...]$ Vabbè ho riconosciuto che $A = aId_4 + B$, ove \( B =\begin{bmatrix} & & & 1\\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{bmatrix}\) Anche qui stessa notazione breve per gli zeri. Le potenze di $B^n, n>1$ sono tutte nulle. Alla fine ,dopo un pò ...

Salve a tutti, mi è stato assegnato il seguente esercizio, di cui vorrei avere una conferma sulla correttezza della mia soluzione: sia \( \bf{\dot{x}} = \bf{A} \bf{x} \), ove $\vec{x} = \vec{x}(t)$ e le derivate sono da intendersi rispetto alla variabile temporale ovviamente. si trovi la soluzione per $t >0$ sapendo che $A $ è la matrice i cui elementi $A_{ij} = 1, \AA i,j$ e che $x(0) =((1),(0),(2))$ io son partito così: La soluzione è della forma $x(t) = U(t)x(0)$, ove ...

Non mi è chiara la differenza fra inclusione e immersione: Se prendo $AsubeX$ definire l'immersione $i:A->X$ non è uguale a dire che $i$ è un inclusione (forse l'inclusione è fra insiemi e l'immersione è fra spazi topologici ma essenzialmente sono la stessa cosa?) perchè immerge un insieme vuol dire metterlo in uno spazio in cui esso appartiene ma allora è se stesso (ben diverso se invece immergo un insieme in un altro insieme che ha le stesse caratteristiche del ...

Data \( \bf{\dot{x}} = A\bf{x}, \bf{x} \in \mathbb{R}^2, A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}, A \in M_2(\mathbb{R}) \) Trovare $a,b,c$ tali che $U(t)$ è unitaria, ove \( \bf{x(t)} = U(t)\bf{x(0)}, \) Io so questo: affinché $U$ sia unitaria deve essere \( UU^{\ast} = Id \) Inoltre so che $U(t) = e^{tA} $ Dunque devo avere che \( e^{tA} (e^{tA})^\ast = Id \) Non so bene come trattare questo termine $(e^{tA})^\ast $ Ho provato a scrivermi ...

Perchè se $A$ è una matrice simmetrica e alternante (cioè gli elementi diagonali sono nulli), quadrata di ordine $n$ (con $n$ dispari) su un campo di caratteristica pari si ha $\det A=0$?

Sia \( D_a(r) = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x- a \right|_p \leq r \} \) e rispettivamente \( D_a^{-} = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x - a \right|_p < r \} \) il disco chiuso centrato in \(a \) e di raggio \(r\) (e rispettivamente il disco aperto). Dimostra che \( D_a(r) , D_a^{-}(r) \) sono entrambi sottoinsiemi aperti e chiusi di \( \mathbb{C}_p\). Hint: Dimostra che \( \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x-a \right|_p = r \} \) è aperto. Allora per dimostrare che il disco chiuso è aperto ...

buongiorno, sto preparando l'esame di algebra lineare e di solito nei temi d'esame geometria non esce quasi mai. Per questo vi chiedo aiuto per questo problema Date le rette r e s di equazioni cartesiane rispettivamente r: x + y + 2z -4=2x -y + z - 5=0 e s: x - 2 = y - z - 1=0 determinare un punto P su r e un punto Q sus tali che la distanza tra P e Q sia uguale alla distanza tra r e s (cioè al minimo della distanza tra un punto di r e un punto di s). io ho calcolato la distanza ...

Non riesco ad approcciare questo problema. Ho due set di tre punti nello spazio 3D: (-10,-5,-15),(-20,-8,-45),(5,14,35) (5.8,8.4,4.6),(15.5,1.7,1.9),(-8.2,95.6,-128.3) dovrei calcolare la matrice di rotazione per allineare la seconda terna (gli asterischi) alla prima (i palllini). Potrei calcolarmi il prodotto vettoriale con i versori di riferimento. Prendendo i primi due punti, $|A x A'|$ mi calcolo la distanza nello spazio tra i due, ma poi? Fosse al contrario, ...

Buongiorno, potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio? "Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno direzioni opposte." Geometricamente lo ...

Buongiorno, vorri cercare di chiarire un dubbio riguardo il teorema di struttra delle soluzioni di un sistema lineare, il quale afferma: una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O (sistema lineare omogeneo associato). DIM: 1) data X' soluzione generica di AX=B e X'' soluzione particolare allora si ha che (X'-X'') è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare ...

Ho una seconda domanda banalotta ma che mi sta facendo riflettere e sono sicuro di aver capito appieno. So che un teorema per vedere se un sottoinsieme W è sottospazio vettoriale di V, dice che se tale sottoinsieme è chiuso rispetto alle operazioni di V (somma di vettori e prodotto per uno scalare) allora è sottospazio vettoriale. Vale inoltre il contrario, ossie è un se e solo se. La chiusura rispetto al prodotto per scalare si scrive come: per ogni $lambda in KK$ e per ogni ...

Ciao a tutti, Mi scuso in anticipo se la mia domanda sembra banale o se dimostro una mancanza di conoscenze in materia. Sto cercando di capire il motivo o la spiegazione di come trovare una retta parallela passante per l'origine, data una retta espressa in forma parametrica. Ho una retta espressa come r: {x = t, y = t, z = t}, con t come parametro. Vorrei sapere come trovare un'altra retta che sia parallela a questa retta e che passi per l'origine (0, 0, 0). Mi chiedo perché la soluzione sia ...

Buongiorno, Ho trovato un quesito che mi mette parecchio in difficoltà. Fornisci un esempio di una matrice reale A 3x3 tale che: * il polinomio caratteristico sia PA (x) = -х(x - 1)^2 * l'autospazio associato all’autovalore 0 sia Vo=Span ([1 0 1]) * L’autospazio associato all’autovalore 1 sta V1=Span ([-1 1 0]) Io provato a risolvere con una matrice diagonale con autovalori sulla diagonale ma mi blocco sugli autospazi