Funzione continua in topologia
considerata in $R^2$ la retta r : y=0 e la topologia di $R^2$ avente per base la famiglia delle rette parallele ad r.
Dire in quali punti la funzione f(x,y)=(x,2x) è continua.
Una funzione è continua in un punto se la controimmagine di un intorno di f(x) è un intorno di x, o analogamente se l'immagine di un intorno di x è contenuto in un intorno di f(x).
Visto che siamo in dimensione 2, devo usare il teorema fondamentale secondo il quale una funzione è continua se lo sono le proiezioni dei suoi singoli fattori, quindi devo vedere in che punti sono continue f(x)=x e f(y)=2x.
un intorno di x è una retta e dunque mediante f, tale intorno è ancora una retta e quindi la funzione lungo x è sempre continua.
devo vedere su y: un intorno di 2x è una retta e quindi mediante f è un intorno di f(y), quindi la funzione è continua.
E' giusto?
Dire in quali punti la funzione f(x,y)=(x,2x) è continua.
Una funzione è continua in un punto se la controimmagine di un intorno di f(x) è un intorno di x, o analogamente se l'immagine di un intorno di x è contenuto in un intorno di f(x).
Visto che siamo in dimensione 2, devo usare il teorema fondamentale secondo il quale una funzione è continua se lo sono le proiezioni dei suoi singoli fattori, quindi devo vedere in che punti sono continue f(x)=x e f(y)=2x.
un intorno di x è una retta e dunque mediante f, tale intorno è ancora una retta e quindi la funzione lungo x è sempre continua.
devo vedere su y: un intorno di 2x è una retta e quindi mediante f è un intorno di f(y), quindi la funzione è continua.
E' giusto?
Risposte
"biggest":Errore. Questo vale in spazi topologici prodotto, ma qui hai definito una topologia direttamente su $RR^2$ che non origina dal prodotto di due topologie su $RR$.
Visto che siamo in dimensione 2, devo usare il teorema fondamentale secondo il quale una funzione è continua se lo sono le proiezioni dei suoi singoli fattori, quindi devo vedere in che punti sono continue f(x)=x e f(y)=2x.
P.S.:
"biggest":Sei sicuro di questa cosa? Prova a dirla un po' meglio, magari. La prima caratterizzazione che hai dato è quasi corretta (non devi dire un intorno ma ogni intorno. La controimmagine di ogni intorno di $f(x)$ è un intorno di $x$.)
Una funzione è continua in un punto se la controimmagine di un intorno di f(x) è un intorno di x, o analogamente se l'immagine di un intorno di x è contenuto in un intorno di f(x).
Quindi dovrei semplicemente verificare se gli intorni dei punti (x,y) mediante f sono intorni di (x,2x), quindi, un intorno di (x,y) è una retta parallela all'asse x, se ne faccio l'immagine mediante f, ottengo ancora una retta parallela all'asse x, cio vuol dire che f è continua in ogni punto di $R^2$?
Non direi. La controimmagine di una retta parallela all'asse delle $x$ cos'è? Non mi pare proprio sia una retta parallela all'asse delle $x$. Secondo me $f$ non è continua in nessun punto.
però, se prendo la retta, ad esempio, x=6, ottengo un punto (6,12), che non è un aperto, dunque la funzione non è continua in nessun punto?
@dissonance, l'ho capito dopo che era un punto.
@dissonance, l'ho capito dopo che era un punto.
???
Cosa stai dicendo adesso? $x=6$ che è? Sono aperti le rette parallele all'asse delle $x$, non delle $y$.
Cosa stai dicendo adesso? $x=6$ che è? Sono aperti le rette parallele all'asse delle $x$, non delle $y$.
x=6 è una retta, ma mediante f , non diventa un punto?, il punto (6,12).
Si va bene ma cosa ce ne importa? Rivedi bene la definizione di continuità in un punto. Quella roba che hai scritto su non mi convince molto. E poi stai attento a quali rette consideri: gli aperti sono le rette parallele all'asse $x$, non all'asse $y$.
allora, una funzione f di S in S' è continua in x di S se e solo se la controimmagine di ogni intorno di f(x) in S' è ancora un intorno di x in S.
Un generico punto è (h,k), un intorno di tale punto è y=k, quindi se faccio la controimmagine di y mediante f ottengo (h,k/2) che è un punto, che non è un aperto della mia topologia, dunque la f non è continua in (h,k/2), al variare di h e k dovrei ottenere che f non è continua in alcun punto?
Un generico punto è (h,k), un intorno di tale punto è y=k, quindi se faccio la controimmagine di y mediante f ottengo (h,k/2) che è un punto, che non è un aperto della mia topologia, dunque la f non è continua in (h,k/2), al variare di h e k dovrei ottenere che f non è continua in alcun punto?
Si vede subito che c'è un errore. Guarda, nella controimmagine mediante $f$ della retta ${y=k}$ non c'è il punto $(h, k)$ (se non per $k=0$). Tu devi prendere un punto $(h, k)$, calcolare $f(h, k)$, prendere un intorno di $f(h, k)$ e vedere com'è fatta la controimmagine di tale intorno. Così si studia la continuità in $(h, k)$.
Non fare le cose a casaccio. Ragiona bene, prima.
Non fare le cose a casaccio. Ragiona bene, prima.
Scusami, ma sto entrando in confusione: allora, prendo un punto del dominio (h,k), ne faccio l'iimagine mediante f ed ottengo (h,2h), adesso prendo un suo intorno; tale intorno deve essere una retta parallela all'asse x, quindi una rettache contenga (h,2h); se faccio la controimmagine ottengo (h,h) , giusto?
vabbè, è ora di smettere, ci riprovo domani
vabbè, è ora di smettere, ci riprovo domani
Ma si, dai. Devi disegnare quello che fai sennò non concluderai mai nulla. Qual è la retta parallela all'asse $x$ e passante per $(h, 2h)$? Ce n'è una sola. Dopodiché calcola la controimmagine di tale retta mediante $f$. Otterrai un'altra figura geometrica contenente $(h, k)$. Se questa è un intorno di $(h, k)$ allora... e sennò ...
allora, provo con un caso numerico , forse mi riesce meglio:
Allora, prendo ad esempio il punto (1,1); ne faccio l'immagine mediante f; e ottengo il punto (1,2). L'unico intorno di (1,2) è la retta y=2. Adesso devo fare la controimmagine di tale retta; prendo due punti della retta, diciamo (1,2) e (2,2); faccio la controimmagine:
$f^(-1)(1,2)=(1,1/2)$ e $f^(-1)(2,2)=(2,1)$; la retta che passa per questi due punti non è parallela all'asse x, quindi la funzione non è continua.
Vi prego, aiutatemi, sto sbroccando...
Allora, prendo ad esempio il punto (1,1); ne faccio l'immagine mediante f; e ottengo il punto (1,2). L'unico intorno di (1,2) è la retta y=2. Adesso devo fare la controimmagine di tale retta; prendo due punti della retta, diciamo (1,2) e (2,2); faccio la controimmagine:
$f^(-1)(1,2)=(1,1/2)$ e $f^(-1)(2,2)=(2,1)$; la retta che passa per questi due punti non è parallela all'asse x, quindi la funzione non è continua.
Vi prego, aiutatemi, sto sbroccando...
Non sbroccare! E' giusto. Hai dimostrato che la funzione non è continua in $(1, 1)$. Fai lo stesso discorso per un $(h, k)$ generico e dimostrerai che la funzione non è continua in nessun $(h, k)$. Finito.
però mi sembra continua in (0,0).
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