Topologia delle semirette

[process11]

sia $tau$ l'insieme definito da $tau={(a,+infty) : a in R} uu {R} uu$ l'insieme vuoto.

si dica se

1) $(R,tau)$ è compatto
2) $(R,tau)$ è connesso
3) si provi che una funzione $ f : (R,tau) -> (R,tau) $ è continua se e solo se è monotona non decrescente

allora
1)ho fatto cosi: prendo un ricoprimento $U={u_n=(-n, + infty) : n in N}$ di R; se $U$ avesse un sottoricoprimento finito $u_(n1),.......,u_(nk)$, denotando con M il $maxn_i$ per i che va da 1 a k avremmo che $uu u_(ni)={(-M,+infty)$, che è assurdo

2)R è connesso in quanto non esistono due aperti disgiunti con questa topologia, cioè non ne esistono due disgiunti la cui unione sia tutto R

3) non saprei come fare.....

[mistake89]

Beh prendi $f$ monotona non decrescente. E considera la contro immagine di un aperto, dovresti poter concludere facilmente.
Viceversa supponi per assurdo che $f$ non sia monotona non decrescente e fai vedere che $f$ non è continua.

[process11]

bo, ci penso.....e per la compattezza va bene come ho fatto??

[mistake89]

Sì, anche se hai scelto un ricoprimento "difficile". Bastava prenderne uno composto da aperti del tipo $(a_i,+infty)$ con $a_i in RR$.
Anche questo non ammette un sottoricoprimento finito.

[process11]

va bene $f(x)=\{(0 if x<0),(1 if >=0) :}$

avrei che $f^-1(1/2, + infty)=[0,+infty)$ e non è continua, anche se non è decrescente.....

[process11]

tiro su

[j18eos]

Strutturando il dominio con la topologia delle semirette da te considerata, hai che non è continua!

[process11]

e quindi non vale il se e solo se, ma solo il solo se.....per avere il se e solo se bisogna aggiungere la suriettività, o sbaglio?

[j18eos]

A me fa sorgere dei dubbi su come si debba interpretare l'aggettivo "monotòna"!