Limiti di successione
Assegnata la base per una spazio topologico formata da R e da (0,a), determinare i limiti della successione $1/n$.
Lo spazio non è $T_1$, quindi effettivamente potrebbero esserci più limiti. Visto che un punto è limite della successione se la successione è definitivamente in ogni intorno di y da un certo y in poi e nel mio caso posso prendere come intorno gli intervalli (0,a), il mio insieme di convergenza è $R_+$?
Lo spazio non è $T_1$, quindi effettivamente potrebbero esserci più limiti. Visto che un punto è limite della successione se la successione è definitivamente in ogni intorno di y da un certo y in poi e nel mio caso posso prendere come intorno gli intervalli (0,a), il mio insieme di convergenza è $R_+$?
Risposte
No, non solo $RR^+$. Tutti i punti sono limiti di $1/n$. Se prendi un punto negativo esso ha un solo intorno che è $RR$.
Quindi, come dovrei fare per risolvere questa tipologia di esercici?: devo vedere il più grande aperto che contiene tutti i punti della successione?
Non c'è un meccanismo standard. Devi andare a senso. In questo caso pensa ad un punto reale e chiediti: quali sono i suoi intorni? Dopo un po' ti rendi conto che ogni punto reale ha solo intorni belli grossi e che contengono quasi tutta la successione.
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