Spazio quoziente
sulla retta dei numeri reali si consideri la seguente relazione di equivalenza:
$x sim y$ se e solo se $x=y$ o $x,y in Z$
e sia $X=R/sim$
si verifichi se X è compatto e se è Hausdorff
per quanto riguarda la compatezza, avevo pensato di muovermi cosi:
sia A un aperto di X $AA n in Z EE epsilon_n>0$ tale che $(n-epsilon_n, n+epsilon_n)$ sia contenuto in $A$
allora se prendo il ricoprimento aperto $uuu_(n in Z)(n-1/(n+1),n+1/(n+1))$ dal quale non si può estrarre alcun sottoricoprimento finito...ho dei dubbi sul fatto che quello sia il ricoprimento aperto giusto da prendere...cosa sbaglio??
per quanto riguarda Hausdorff è un pò più complicato:qualcuno mi da una dritta
? intuitivamente questo spazio è di H, perchè presi due punti distinti di X esistono sempre due aperti disgiunti di loro. il problema è dare una dimostrazione rigorosa....mi servirebbe un input e poi provo a farla io
$x sim y$ se e solo se $x=y$ o $x,y in Z$
e sia $X=R/sim$
si verifichi se X è compatto e se è Hausdorff
per quanto riguarda la compatezza, avevo pensato di muovermi cosi:
sia A un aperto di X $AA n in Z EE epsilon_n>0$ tale che $(n-epsilon_n, n+epsilon_n)$ sia contenuto in $A$
allora se prendo il ricoprimento aperto $uuu_(n in Z)(n-1/(n+1),n+1/(n+1))$ dal quale non si può estrarre alcun sottoricoprimento finito...ho dei dubbi sul fatto che quello sia il ricoprimento aperto giusto da prendere...cosa sbaglio??
per quanto riguarda Hausdorff è un pò più complicato:qualcuno mi da una dritta
? intuitivamente questo spazio è di H, perchè presi due punti distinti di X esistono sempre due aperti disgiunti di loro. il problema è dare una dimostrazione rigorosa....mi servirebbe un input e poi provo a farla io
Risposte
Tieni conto che se prendi [tex]$A=(0;1)$[/tex] non trovi nessun numero intero in [tex]$X$[/tex]! -_- Devi considerare un ricoprimento per aperti di [tex]$X$[/tex] e non di un suo aperto! 
Per quanto riguarda Hausdorff, la storia è sempre quella: scegli due punti distinti in [tex]$R$[/tex] e vedi se si separano in [tex]$X$[/tex], in questo caso dove li prendi?
Per quanto riguarda Hausdorff, la storia è sempre quella: scegli due punti distinti in [tex]$R$[/tex] e vedi se si separano in [tex]$X$[/tex], in questo caso dove li prendi?
va meglio questo??? $uuu_(n in Z)(1-1/n,1+1/n)$ ?
per quanto riguarda H. io ne prenderei uno tra 0 e 1(che poi è lo stesso punto) e uno tra 1 e 2 per esempio....perchè io questo spazio topologico lo vedo sostanzialmente come un fiore con infiniti petali, dove il pistillo (il centro) è la classe di 0, ma non mi sembra proprio il massimo della formalità
per quanto riguarda H. io ne prenderei uno tra 0 e 1(che poi è lo stesso punto) e uno tra 1 e 2 per esempio....perchè io questo spazio topologico lo vedo sostanzialmente come un fiore con infiniti petali, dove il pistillo (il centro) è la classe di 0, ma non mi sembra proprio il massimo della formalità
Per la prima domanda: ottieni una successione decrescente di aperti la cui unione converge a [tex]$(0;2)$[/tex]. 
Considera il ricoprimento per aperti [tex]$\{(-n;n)\subset X\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex], che mi dici?
Ma vuoi vedere che questo spazio topologico è la celeberrima margherita topologica di cui ho tanto sentito parlare? Ti devo stringere la mano per la tua immaginazione, continua così e sarai un vero topologo; preso il pistillo ed un punto di un suo petalo, li riesci a separare?
Considera il ricoprimento per aperti [tex]$\{(-n;n)\subset X\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex], che mi dici?
Ma vuoi vedere che questo spazio topologico è la celeberrima margherita topologica di cui ho tanto sentito parlare?
Ti devo stringere la mano per la tua immaginazione, continua così e sarai un vero topologo; preso il pistillo ed un punto di un suo petalo, li riesci a separare?
ok, è vero non ci avevo pensato...bè in questo caso non possiamo estrarre sottoricoprimenti finiti, quindi X non è compatto.
per l'altra domanda intuitivamente la risposta è no, adesso ci penso e domani provo a scrivere giù una cosa formalmente corretta...grazie intanto ciao
per l'altra domanda intuitivamente la risposta è no, adesso ci penso e domani provo a scrivere giù una cosa formalmente corretta...grazie intanto ciao
ok proviamo...
sia $pi:X->X/sim$ la proiezione sul quoziente, prendiamo un intorno A di [1] e un intorno B di un numero compreso tra uno e due estremi esclusi, lo chiamo
sia $pi:X->X/sim$ la proiezione sul quoziente, prendiamo un intorno A di [1] e un intorno B di un numero compreso tra uno e due estremi esclusi, lo chiamo
...un aperto di [1] sarà del tipo $(1,1+epsilon)$ con $epsilon>0$ e minore di 1 mentre di $
$ sarà $(mu - p, p + nu)$ con $ 1<=mu
Un intorno di [tex]$[1]$[/tex] è [tex]$\epsilon>0,\,\pi(1-\epsilon;1+\epsilon)$[/tex] (errore causato dalla tua distrazione) ed un intorno di [tex]$[x]\in\pi(1;2)$[/tex] è [tex]$\eta>0,\,\pi(x-\eta;x+\eta)$[/tex], perché non riesci o riesci a separarli? 
adesso la butto giù proprio come se fosse la brutta copia: se io prendo per esempio $eta=1$ ho che l'intorno di $[x]=pi(x-1,x+1)$ e se prendo $epsilon=1/2$ ho che l'intorno di $[1]=pi(-1/2,3/2)$ ora $pi(x-1,x+1) nn pi(-1/2,3/2) != $ dal vuoto. quindi un motivo percui non li posso separare è che se $eta>1$ certamente ogni intorno di $[x]$ contiene 1 e quindi non si possono separare....te prego di aver pazienza, so che sono abbastanza zuccone
riporto su, in attesa di indicazione di j18eos o chi altro voglia aiutarmi
Hai solo dimostrato che esistono [tex]$2$[/tex] intorni che non separano [tex]$[1]$[/tex] ed [tex]$[x]$[/tex], considera degli intorni [tex]$I$[/tex] e [tex]$J$[/tex] che separano [tex]$1$[/tex] ed [tex]$x$[/tex] eppoi le loro immagini mediante [tex]$\pi$[/tex]!
prendiamo $[x]$ e $[y]$ due elementi di X. se uno dei due è Z, l'altro non lo è. poniamo $[x] in R/Z$ e $[y] in Z$; poichè Z è chiuso in R, posso trovare un aperto A contenente x e un aperto B contenente Z tali che A e B sono disgiunti. Allora A e B sono aperti saturi di R quindi aperti di X, e A e B sono intorni disgiunti di $[x]$ e $[y]$ in X....meglio?
up
Era questa la mia idea!
Però consiglio un'ulteriore conferma in quanto, in questi giorni, sono allergico alla topologia. T_T
Però consiglio un'ulteriore conferma in quanto, in questi giorni, sono allergico alla topologia. T_T
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