Sistema lineare
Allora, devo risolvere il seguente sistema lineare:
$\{(x+y+Kz=1),(x+Ky+z=K),(Kx+y+z=K):}$
chiamo A la matrice $((1,1,K),(1,K,1),(K,1,1))$
e b $((1),(K),(K))$
vedo che il determinante di A si annulla solo per K=1
Rango di A = rango di Ab, quindi trovo le soluzioni (x, y e z) con cramer, con K diverso da 1
poi devo vedere cosa succede con K=1
il determinante di A si annulla sempre...praticamente mi resta solo un numero 1, quindi vuol dire che ha rango 1?
stessa cosa per il det di Ab, che quindi ha anch'essa rango 1?
se si, trovo le soluzioni di x, y e z, giusto?
con Ab, intendo la matrice A con al posto della prima colonna i valori di b per trovare la x, al posto della seconda per trovare y e della terza per trovare z.
Grazie mille
$\{(x+y+Kz=1),(x+Ky+z=K),(Kx+y+z=K):}$
chiamo A la matrice $((1,1,K),(1,K,1),(K,1,1))$
e b $((1),(K),(K))$
vedo che il determinante di A si annulla solo per K=1
Rango di A = rango di Ab, quindi trovo le soluzioni (x, y e z) con cramer, con K diverso da 1
poi devo vedere cosa succede con K=1
il determinante di A si annulla sempre...praticamente mi resta solo un numero 1, quindi vuol dire che ha rango 1?
stessa cosa per il det di Ab, che quindi ha anch'essa rango 1?
se si, trovo le soluzioni di x, y e z, giusto?
con Ab, intendo la matrice A con al posto della prima colonna i valori di b per trovare la x, al posto della seconda per trovare y e della terza per trovare z.
Grazie mille
Risposte
Il determinante non si annulla solo per $k=1 $ ma anche per un altro valore che devi trovare.
Se $k=1 $ il sistema ha soluzioni esattamente $oo^2 $ che devi trovare....
Sposto in Geometria sezione più adatta
Se $k=1 $ il sistema ha soluzioni esattamente $oo^2 $ che devi trovare....
Sposto in Geometria sezione più adatta
Prima di tutto grazie per la risposta.
Potresti spiegarmi meglio come trovo l'altro valore di K e come svolgo poi l'esercizio?
Io ho trovato il determinante di A che mi risulta essere $-k^3+3k-2$
poi ho raccolto $k(-k^2+3)=2$ e ho trovato $k=2$ e $k^2=3$. Però se inserisco questi valori nel determinante, non si annulla.
Sicuramente è una cavolata e sicuramente ho scritto una cosa orrenda, però non riesco a capire come trovare l'altro valore di k.
edit: si annulla anche per $k=-2$
quindi oltre a quello che ho fatto, devo controllare il rango di A per $k=-2$ (che dovrebbe essere 2) e il rango di ab (che dovrebbe essere 3, quindi per il teorema di Rouchè-Capelli non esistono soluzioni), giusto?
Potresti spiegarmi meglio come trovo l'altro valore di K e come svolgo poi l'esercizio?
Io ho trovato il determinante di A che mi risulta essere $-k^3+3k-2$
poi ho raccolto $k(-k^2+3)=2$ e ho trovato $k=2$ e $k^2=3$. Però se inserisco questi valori nel determinante, non si annulla.
Sicuramente è una cavolata e sicuramente ho scritto una cosa orrenda, però non riesco a capire come trovare l'altro valore di k.
edit: si annulla anche per $k=-2$
quindi oltre a quello che ho fatto, devo controllare il rango di A per $k=-2$ (che dovrebbe essere 2) e il rango di ab (che dovrebbe essere 3, quindi per il teorema di Rouchè-Capelli non esistono soluzioni), giusto?
Non si risolvono così le equazioni !!!!!
Puoi fattorizzare se poi il prodotto è uguale a $ 0 $ allora per la legge di annullamento del prodotto etc etc .
Tu ottieni una equazione di terzo grado in $ k $ .
Applicando la regola di Ruffini vedi che il polinomio si annulla per $k=1 $ e quindi è divisibile per $(k-1) $.
Esegui la divisione e ottieni un polinomio di secondo grado di cui trovi le radici che in conclusione sono : $k= 1 $ radice doppia e $k=-2 $ .
Per $ K = -2 $ il sistema è impossibile per la ragione che hai detto.
Rivedi le tue conoscenze sulle equazioni, altrimenti non vai lontano ........
Puoi fattorizzare se poi il prodotto è uguale a $ 0 $ allora per la legge di annullamento del prodotto etc etc .
Tu ottieni una equazione di terzo grado in $ k $ .
Applicando la regola di Ruffini vedi che il polinomio si annulla per $k=1 $ e quindi è divisibile per $(k-1) $.
Esegui la divisione e ottieni un polinomio di secondo grado di cui trovi le radici che in conclusione sono : $k= 1 $ radice doppia e $k=-2 $ .
Per $ K = -2 $ il sistema è impossibile per la ragione che hai detto.
Rivedi le tue conoscenze sulle equazioni, altrimenti non vai lontano ........
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo