Verifica che l'insieme sia un sottospazio di R

[ciccioxx92-votailprof]

Come da titolo,
"Verificare che l'insieme ${V= (x, y, z) in RR^3 : x-y+z=0}$ è un sottospazio di $RR^3$ e trovarne una base."

Io ho applicato la definizione, cioè: la somma di vettori (appartenenti al sottospazio) deve essere ancora appartenente al sottospazio ed inoltre il prodotto di un vettore del sottospazio per un numero reale porta ad un vettore sempre appartenente al sottospazio.
Ciò che mi chiedevo è: si può proseguire così?

$u+v = (x+x_1, y+y_1, z+z_1) = (x+x_1) + (y+y_1) + (z+z_1) = (x+y+z) + (x_1+y_1+z_1)$

Come faccio a dire che è verificato? So che devo utilizzare ciò che mi viene detto, cioè $x-y+z=0$, ma come faccio ad applicarlo?

Grazie in anticipo,

Francesco

[angus89]

Prendi due vettori nel tuo insieme, $v_1=(x_1,y_1,z_1)$ e $v_2=(x_2,y_2,z_2)$, allora sai che, dato che appartengono al tuo insieme vale che
$x_1-y_1+z_1=0$
$x_2-y_2+z_2=0$

Inoltre per definizione hai che la somma $v=v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$, quello che devi verificare è che $v$ sia nell'insieme, ovvero che le componenti di $v$ rispettino l'equazione, quindi
$(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0$

[ciccioxx92-votailprof]

Grazie mille. Volevo essere sicuro sul - prima della somma delle y.

E per quanto riguarda le basi?

[angus89]

devi in qualche modo intuire quale dimensione ha il tuo spazio. Se la dimensione è $k$ allora devi cercare $v_1, ..., v_k$ vettori le cui componenti rispettano l'equazione detta prima. Inoltre questi vettori devono essere linearmente indipendenti.