Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Buon giorno. Ho questo problema: determinare gli iperpiani di $E^4$ ortogonali al sottospazio affine dato da $S_1:\{(x_1+2x_3-1=0),(x_2-3=0),(x_4-2x_3-2=0):}$ aventi distanza $d=2$ dal punto $P=(1,1,1,0)$.
Ho pensato di risolvere così: trovo il vettore direttore di questo sottospazio, ma non saprei come, visto che non ha dimensione famigliare, ottenuto questo vettore trovo quello ortogonale, infine impongo la distanza uguale a 2 usando la formula della distanza di un punto da ...
Buon giorno. Ho questo problema sulle superfici di rotazione: data la retta $r: \{(3x-2z+3=0),(5x-2y+3=0):}$ e $s$ la retta per $P=(-1,1,2)$ e avente vettore direttore $v=2i+j-k$. Sia $Sigma$ la superficie di rotazione della retta $r$ attorno alla retta $s$. Determinare i piani che tagliano $Sigma$ lungo un parallelo di raggio $2sqrt(2)$.
Prima di tutto scrivo la retta $s$ in forma parametrica: $s: \{(-1+2t),(1+t),(2-t):}$. ...
Ho questo esercizio: determinare l'equazione dei piani tangenti alla sfera $S: x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ che contengono la retta $r: \{(x= 3 + t),(y = 1),(z = t):}$ con $t in RR$.
Ho difficoltà a capire come risolverlo, anche se ho parecchi dati, in questo caso non so bene come sfruttarli. Ho pensato di trovare il vettore $CP$ dato che conosco il centro, e imporre a zero il prodotto scalare tra $CP$ e il direttore della retta, ma poi non ho abbastanza informazioni per scrivere il fascio di ...
Buon giorno. Ho questo dubbio: per tre punti non allineati passa uno e un solo piano che si può ricavare con questo determinante: $|(x-x_1, y-y_1, z-z_1),(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1),(x_3-x_1, y_3-y1, z_3-z_1)|=0$ e fin qui ci sono.
Il libro che uso dice che questo determinante è equivalente a questo:
$|(x, y, z, 1),(x_1, y_1, z_1, 1),(x_2,y_2,z_2,1),(x_3,y_3,z_3,1)| = 0$.
Io aldilà di svilupparli ed effettivamente vedere che fanno 0, non capisco la ragione per cui da uno si debba vedere l'altro e che utilità abbia la seconda. Sapreste spiegarmelo?
Ho questo problema: determinare l’equazione cartesiana e successivamente le equazioni parametriche della sfera
tangente al piano $π : 3y − 2z + 3 = 0$ nel punto $P = (−1,−1,0)$ ed avente centro sul piano $π′ : 3x+y+2z+5=0$
Il procedimento a cui ho pensato è questo: per trovare l'equazione mi serve trovare il centro e il raggio. Una volta noto il centro, per avere il raggio calcolo la distanza dal punto di tangenza al centro oppure la distanza dal punto di tangenza al piano ...
La matrice di partenza è $ M= ((3,k),(1,3))$. Devo calcolarne autovalori e autovettori e dire se è diagonalizzabile.
$|M-lambdaI|=|((3-lambda, k), (1, 3-lambda))| = (3-lambda)^2-k => lambda^2-6lambda + 9 -k$.
Pongo il polinomio caratteristico uguale a 0 e trovo gli autovalori: $lambda^2-6lambda + 9 - k=0 =>lamda_(1,2) = 3+-sqrt(k)$.
Ora, per $k<0$ non esistono autovalori reali, per $k=0$ la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=3$ non coincidono e pertanto la matrice non è diagonalizzabile. Studio ora il caso ...
Ho una domanda, forse un po' banale, riguardo l'indipendenza lineare e il rango di una matrice. Dalle dispense su cui ho studiato c'è scritto che, dati $v_1,v_2,...,v_n$ vettori e considerata la matrice associata $A$, avente i vettori dati come vettori colonna, $v_1,v_2,...,v_n$ sono linearmente indipendenti $<=> r(A)=n$.
Ma se io considero 4 vettori di tre componenti, ad esempio $v_1=(x,y,z), v_2=(x_2,y_2,z_2), v_3=(x_3,y_3,z_3), v_4=(x_4,y_4,z_4)$ e la relativa matrice dei vettori $((x,x_2,x_3,x_4), (y,y_2,y_3,y_4), (z,z_2,z_3,z_4))$, questa può avere rango al ...
Ho questo esercizio: determinare i piani contenenti la retta r: ${\(x-3=0),(2y-z+1=0):}$ che formano un angolo di $pi/4$ con il piano $pi: y-z=0$.
Io ho pensato di scrivere il fascio per la retta come $h(x-3)+k(2y-z+1)=0$. La normale alla retta scritta sopra è $n_r(0,1,2)$ e la normale al piano $pi$ è $n_(pi)=(0,1,-1)$. Ma come impongo che formi l'angolo di $pi/4$.
Vi chiedo se mi potete suggerire qualcosa
Buona sera. Ho un problema a capire questo esercizio: si consideri nello spazio $E^4$ il sottospazio
S:$\{(2x_2+x_4=13),(x_1+x_2-x_3=1):}$. Determinare la proiezione ortogonale del punto $Q=(1,0,0,2)$ sul sottospazio S.
Non capisco proprio cosa intenda con proiezione del punto. Io so come trovare la proiezione di un vettore su un sottospazio(vettoriale), ma questo mi manca proprio.
Mi sapreste indicare come partire ed eventualmente che formula utilizzare?
Buonasera,
non riesco a concludere la risoluzione dell'esercizio qui riportato:
$ varphi : R^3 -> R^3 $
$ varphi (x,y,z)=(2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $
Determinare una base di Ker e Im.
Per il Ker ho messo le tre condizioni a sistema trovando le soluzioni $y=7/5z$ e $x=z/5$, poi non so più andare avanti...un vettore sarebbe ($z/5,(7z)/5,z$) che è semplificabile come (1,7,5)?
Per quanto riguarda Im invece mi blocco alla partenza.
Come posso proseguire?
Buongiorno a tutti, gradirei se possibile un chiarimento sui cambi di coordinate:
Supponiamo di passare dal sistema $(x,y,z,)$
al sistema di coordinate $(u,v,w)$
mediante la trasformazione lineare invertibile:
$x=x(3u−2v−w)$
$y=y(−u−v+2w)$
$z=z(u+3v−2w)$
In sostanza volevo capire il significato geometrico dei vettori $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$
rappresentati nel video: https://youtu.be/On4oeXnXTNA?list=LL (al min. 16:27 circa) in caso di trasformazione ...
Ciao a tutti.
Ho un problema con un esercizio (in realtà il problema è più che altro concettuale).
Sia [tex]$f = L_A : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex], ove [tex]$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$[/tex]
Sia [tex]$U_h = \text{span}\{e_1, e_2 + he_4\}$[/tex] (gli [tex]e_i[/tex] sono i vettori della base canonica di [tex]\mathbb{R}^4[/tex])
Si chiede di stabilire per quali valori di [tex]h[/tex] la restrizione di [tex]f[/tex] a [tex]U_h[/tex], [tex]$f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex] è iniettiva.
Per l'iniettività tutto ok.
Il mio problema è che non ...
Come è effettivamente definita la molteplicità di intersezione di curve algebriche?
Il mio dubbio è abbastanza generale.
Supponendo di avere $F(x, y, z) = 0$ e $G(x, y, z) = 0$ curve algebriche in $RR$ con $F$ e $G$ polinomi di un certo grado.
La definizione di molteplicità di intersezione che mi è stata data di un punto $P$ è $m$ se $P$ è soluzione del sistema
$\{(F(x, y, z)=0),(G(x,y,z)=0):}$
e $m$ la ...
Buongiorno ho il seguente esercizio
Dato il fascio di coniche in $\mathbb{P}^2(RR)$ definito da
$(\lambda + \mu)X^2-\mu Y^2+2(\lambda+\mu)XZ+\lambda Z^2=0$
Trovare tutte le proiettività $\phi:\mathbb{P}^2(RR)->\mathbb{P}^2(RR)$ tali che $\phi(\mathcal{C})=\mathcal{C}$ per ogni $\mathcal{C}$ nel fascio e $\phi(\text{[0, 0, 1]} )=[0, 0, 1]$
Ora, io ho calcolato la matrice della conica generica del fascio che è
$A=((\lambda+\mu, 0, \lambda+\mu),(0,-\mu,0),(\lambda+\mu,0,\lambda))$
Ora so che se $P$ è la matrice della proiettività $\phi$ la terza colonna di $P$ sarà $((0, 0, 1))$ e poi ho la ...
Buongiorno a tutti
Presento un problema di intersezione/tangenza tra ellisse e circonferenza.
Ellisse: \(\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1\) con \(b>a\) dati \(a\) e \(b\).
Circonferenza centrata in \((d,e)\) di raggio \(r\) di eq. \((x-d)^2 +(y-e)^2=r^2\)
con \(d\), \(r\), \(a\) dati ed \(d
(a) Fare un esempio di un rivestimento connesso non normale $p:(\tilde X, \tilde x_0)->(K,x_0)$ dove $K$ è la bottiglia di Klein.
(b) Si scelga $x_0inK$ e $\tilde x_0 in p^-1(x_0)$. Dire a cosa corrisponde $H=p_{star}(pi_1((\tilde X, \tilde x_0)))$ in $pi_1(K,x_0)$ per il rivestimento scelto.
(c) E' vero che $H$ non dipende dal punto base $\tilde x_0 $ scelto?.
Io ho fatto così:
(a) Consideriamo la glissosimmetria $a: (x,y)->(-x,y+1)$ e la traslazione $b: (x,y)->(x+1,y)$, abbiamo che $pi_1(K)$ è ...
Salve a tutti, ho un dubbio con un esempio di sottospazio affine.
Sia $A_2$ il piano affine reale associato allo spazio dei vettori liberi $V^2$. Siano $A\in A_2, v\inV^2$. Considero $W=<v>\inV^2$. Allora $S(A,<v>)$ il sottospazio affine di $A_2$ passante per $A$ e di giacitura $<v>$ sarà formato da ${P\inA_2 | vec(AP) \in <v>}$.
Ora, un vettore libero non è altro che una classe di equivalenza formata da tutti i vettori applicati ...
Sia $p:(\tilde X, \tilde x_0)->(X, x_0)$ un rivestimento connesso per archi e localmente connesso per archi. E' vero che presi $\gamma$ e $\gamma'$ due cammini continui in $\tilde X$ che partono da $\tilde x_0$ e arrivano in $\tilde x_0$ se sono gli stessi in $\pi_1(\tilde X, \tilde x_0)$ allora i cammini $p \circ \gamma$ e $p \circ \gamma'$ sono gli stessi in $\pi_1(X, x_0)$?
Dovrebbe essere falso poichè se considero il rivestimento universale di $S^1$, ...
E' vero che per ogni $S_1,S_2$ superfici in $RR^3$ esistono due aperti non vuoti $W_1\subseteqS_1$,$W_2\subseteqS_2$ che sono diffeomorfi?
Io ho fatto così:
Sia $S$ una superficie in $RR^3$ allora $AAp inS$ esiste $V$ intorno di $p$ in $RR^3$ con $\varphi:U\subseteqRR^2->SnnV$ parametrizzazione con $U$ aperto di $RR^2$. Sia $q in U$ tale che $\varphi(q)=p$, allora siccome ...
Nello spazio tridimensionale E3 siano date le rette r :
{x=l+s
{y=2s
{z=1-s
e sh:hx-y+z=0=y+2z-1
Dati i punti Q1(1,0,0), Q2(0, 1, 1),Q3(0,--1,3), Qa(0,0,h),trovare i valori di h per cui sono un riferimento R' di A^3.
Scusate qualcuno potrebbe risolvere tale esercizio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo