Esercizio nella topologia indotta
Nel piano reale dotato della topologia naturale consideriamo il segmento $s=[(0,y) : -2<=y<=0]$, una circonferenza $t$ di raggio unitario e i sottospazi ottenuti attaccando le due figure nel modo seguente:
1) Determinare interno e frontiera del segmento rispettivamente in X,Y,Z
2) Provare che X,Y,Z non sono a coppie omomorfi
Inizio da
2) X,Y,Z sono tutti connessi poichè unione di due connessi non disgiunti e sono anche tutti compatti perchè circonferenza e segmento sono compatti. Allora studio i punti di taglio, X ha un punto di taglio chedivide X in tre componenti sconnesse, Y ha un punto di taglio che lo divide in due componenti sconnesse, quindi X e Y non sono omeomorfi; Z ha due punti di taglio che lo divide in tre componenti sconnesse, quindi, Y non è omomorfo a Z per il numero di componenti sconnesse, X non è omomorfo a Z per il numero di punti di taglio.
Per l'1 ci inizio a pensare, ci tengo a precisare che so tutte le definizioni, ma ho delle difficoltà ad applicarle.
Per la frontiera devo prendere quei punti di s aventi come intorni gli aperti che contengono punti non contenuti in s ; quindi X, Y e Z, quinidi la frontiera di s in X è il punto medio del segmento , in Y è l'estremo che appartiene anche alla circonferenza, in Z sono i due estremi.
Per l'interno devo semplicemente togliere ad s i punti di frontiera negli insiemi X, Y, Z.
1) Determinare interno e frontiera del segmento rispettivamente in X,Y,Z
2) Provare che X,Y,Z non sono a coppie omomorfi
Inizio da
2) X,Y,Z sono tutti connessi poichè unione di due connessi non disgiunti e sono anche tutti compatti perchè circonferenza e segmento sono compatti. Allora studio i punti di taglio, X ha un punto di taglio chedivide X in tre componenti sconnesse, Y ha un punto di taglio che lo divide in due componenti sconnesse, quindi X e Y non sono omeomorfi; Z ha due punti di taglio che lo divide in tre componenti sconnesse, quindi, Y non è omomorfo a Z per il numero di componenti sconnesse, X non è omomorfo a Z per il numero di punti di taglio.
Per l'1 ci inizio a pensare, ci tengo a precisare che so tutte le definizioni, ma ho delle difficoltà ad applicarle.
Per la frontiera devo prendere quei punti di s aventi come intorni gli aperti che contengono punti non contenuti in s ; quindi X, Y e Z, quinidi la frontiera di s in X è il punto medio del segmento , in Y è l'estremo che appartiene anche alla circonferenza, in Z sono i due estremi.
Per l'interno devo semplicemente togliere ad s i punti di frontiera negli insiemi X, Y, Z.
Risposte
Professoressa Sara Dragotti? 
P.S.: Il secondo spazio topologico lo chiama ventaglio topologico!
P.S.: Il secondo spazio topologico lo chiama ventaglio topologico!
Si, e per l'esercizio?
E' giusto. Bello questo esercizio. Dì un po' meglio la definizione di punto di frontiera, magari.
@ dissonance : Se vuoi ne posso postare anche altri, ce ne sono tantissimi di questo tipo XD.
@biggest
@dissonance Un esercizio che si può fare è studiare la topologia indotta da quella naturale sulle lettere latine!
"biggest":A rigore dovresti dire "...[tex]$Z$[/tex] ha un insieme di taglio composto da due punti..."
...Z ha due punti di taglio...
@dissonance Un esercizio che si può fare è studiare la topologia indotta da quella naturale sulle lettere latine!
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