Geometria e Algebra Lineare

Salve a tutti, ho un dubbio sul metodo per determinare una base di autovettori di un endomorfismo. Per spiegare il mio dubbio propongo il seguente esercizio: dato l'endomorfismo \(\displaystyle f:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4 \) rappresentato nel riferimento \(\displaystyle R=((0,1,-1,0),(0,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,-1,0)) \) dalla matrice: \(\displaystyle A=\left(\matrix{-1&2&0&0\\1&-1&0&1\\-1&1&1&0\\0&-1&0&-1}\right) \) dire se \(\displaystyle f \) è diagonalizzabile e determinare una ...

Ciao a tutti, sto provando a fare un problema in cui devo calcolare l'area di un triangolo avendo i vertici che sono $ A-= ( -1,0,1,1) B-= (2,1,0,-1) C-= (-1,2,0,0) $ . Per svolgere questo problema a quanto ho capito basta scrivere una matrice, ricavarne il determinante in valore assoluto e dividerlo diviso due. Ma che matrice dovrei scrivere? In un esempio già svolto in cui i punti erano $ A-= ( x_1 ,y_1 , z_1 ), B-= (x_2,y_2,z_2), C-= (x_3,y_3,z_3) $ ho visto che ha scritto questa matrice $ ( ( x_1 ,y_1 , z_1 , 1 ),( x_2 , y_2 , z_2 , 1 ),( x_3 , y_3 , z_3 , 1 ) ) $ ma non capisco il perchè. Qualcuno puo' spiegarmi se questo ...

Salve! Ho difficoltà nel seguente esercizio: Proiettare il vettore $(-2,1,-1)$ di $R^3$ sul piano $W$ di equazione cartesiana $x-y-2z=0$ secondo la direzione $U=Span(1,-1,-1)$ . Credo rappresenti una proiezione obliqua, o sbaglio? Come si risolve?

Ciao a tutti, sono alle prese con la Geometria/Algebra lineare e non ho capito come risolvere questi esercizi, se mi date una mano magari spiegandomelo vi sarei grato. Esercizio. 1 Sia $V = \{f(x, y, z) \in R3: x + y - z = 0; x - y + z = 0\}$ e sia $f: R^3 \to R^3$ l’applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio V e tale che $\lambda= 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori $(1; 1; 1)$ e $(1; 1; 2)$. (i) Determinare una base per $V$ . (ii) Provare che $f$ non è ...

Questa volta ho un dubbio sull'intersezione di due nuclei: Si considerino le applicazioni lineari $ f : RR^(4) rarr RR^(2) : (x, y, z, t) rarr (x - 5t - 3z, y + 6z - 2t) $ $ g : RR^(4) rarr RR^(3) : (x, y, z, t) rarr (x + 2y - z, x + y + t, z - t). $ Allora $ Kerf nn Kerg $ è uguale a R.1) $ (-3t, 2t, t, t) in RR^(4) | t in RR $ R.2) $ RR^(4) $ R.3) $ O/ $ R.4) $ {(0, 0, 0, 0)} $ R.5) $ {(0, 0, 0)} $ Ho calcolato il nucleo di $ f $ (di dim 2) e mi viene $ {(5,2,0,1),(-3,-6,1,0)} $ e quello di $ g $ (di dim 1) $ {(-3,2,1,1)} $ . Mi verrebbe da dire, quindi, che la ...

Ciao sapete risolvere questo quesito: Determinare i piani passanti per P(1,0,0), perpendicolare al piano : x+2z=0 ed aventi distanza 1 dalla retta r: y=1, z=2x-1

La traccia mi dà $f(x,y,z,t)=(x+y+t,2x+z,x-y+z-t)$ e mi chiede per quali valori del parametro $k$ il vettore $v=(k,k-1,-k-2,-3) \in Ker(f)$. Inizialmente ho pensato che $Ker(f)$ è per definizione il sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ (in questo caso) dei vettori che hanno come immagine in $\mathbb{R}^3$ il vettore nullo $f(\bar{v})=\bar{0}$, quindi ho raccolto l'immagine di $v$ e l'ho posta uguale a zero. Secondo voi ho fatto bene?

scusate non riesco a risolvere questo es: Trovare(in un sistema ortonormale e positivo) la direzione dell'asse della famiglia propria di piani avente equazione: $ (h+2k)x + (h+2k)y - (h-k)z=0 $ con $ h,k in RR $ Le possibili soluzioni sono: 1) i-j 2) 2i-j 3) i-j+k 4) i+j So che andrebbe fatto un tentativo di soluzione, ma io non so dove iniziare! L'unica osservazione che mi viene è che so che il vettore $ (h+2k,h+2k, -h-k) $ è ortogonale al piano, ma non so a cosa mi ...

mi trovo davanti ha questa intersezione $\{(xy = 2z),(x - y - 2z = 0):}$ naturalmente questa intersezione mi darà una conica. come faccio a trovare l'equazione di questa conica?? Grazie mille

Buonasera. Mi sono venuti tre dubbi studiando le forme quadratiche: 1) Data una matrice A rappresentativa di una forma quadratica. Per metterla in forma canonica, trovo gli autovalori di A e determino una base di autovettori. Quindi, da quella base di autovettori ci estrapolo una base ortonormale (procedimento che so fare). La matrice ottenuta moltiplicata per A dà la forma canonica (la quale è una matrice diagonale i cui elementi sono uguali alla segnatura). E' giusto? 3) Seguendo il ...

salve a tutti ho un problemino con questo esercizio Fissato nel piano affine euclideo tridimensionale usuale $ E^3 $ un riferimento cartensiano ortonormale, determinare le rette per il punto $P=P(5,6,7)$ che formano angoli uguali con gli assi coordinati. io procedo cosi trovo l'equazione parametrica passante per P quindi avrò $x=5+a*t$ ecc ecc poi ho le condizione che riguardano gli ...

Salve a tutti.. vado subito al sodo.. l'esercizio che sto provando a svolgere è il seguente: devo determinare l'equazione del cilindro contenente la conica $\{(x^2 - xy + y^2 - 1 = 0),(z = 0):}$ e avente vertice in $V=(1,1,1,0)$ a questo punto prendo il generico punto $P$ appartenente alla conica: $P=(alpha,beta,0)$ e riscrivo l'equazione della conica: $alpha^2 - alpha beta + beta^2 - 1 = 0$ ora il testo mi suggerisce di scrivere la retta $PV$: $\{(x = alpha + t),(y = beta + t),(z = t):}$

salve, ho problemi nella risoluzione di un esercizio di questo genere: Si da' l'applicazione lineare R^4 \rightarrow R^3 definita dalla formula T(x1, x2, x3, x4) = (3x1+x2, x1+x2+ax3+x4, 4x1+x2-ax3) dove 'a' è un parametro. A)determinare la matrice M associata all'applicazione lineare T relativa alle basi standard R^4 e R^3; B)determinare la forma canonica ridotta a scala della matrice M C)determinare in funzione del parametro 'a': -kerT -base in kerT -dimensione di kerT -imT -base in ...

Vi propongo questo problema: Fissato un riferimento cartesiano ortonormale positivo in $S_3$ si considerino il punto $P$ $\(0,1,3):$ e le rette $r:$ $\{(x-2z-1=0),(y+3z=0):}$ $s:$ $\{(x+z=0),(y-z=0):}$ a) si determini la retta $t$ passante per il punto $P$ ortogonale alla retta $r$ e incidente alla retta $s$ b) si verifichi che le rette $r$ ed $s$ siano ...

Ciao, amici! Il mio libro accenna che una $n$-upla, per esempio \(\bf u\), a componenti reali può essere vista come una funzione $u:{1,2,...,n}->RR$ (sic, con $u$ non grassetto). Io avrei pensato piuttosto che il dominio di \(\bf u\) è sì l'insieme degli indici, ma avrei detto che il codominio sia il prodotto cartesiano generalizzato $RR^n$... Sbaglio? Grazie di cuore a tutti!

Buongiorno, ho un problema con un piccolo esercizio! Determinare i valori del parametri h per i quali le rette del piano euclideo: $r : 2x + y=0$ $r' : x-2y+2=0$ $r'' : 3x-y+h+4=0$ Appartengono allo stesso fascio. Sinceramente non saprei proprio come farlo, ho provato a trovare il fascio che contiene quelle tre rette ma mi sono bloccato quasi subito.. e altre idee non ne ho! Qualcuno che mi aiuta? Grazie mille in anticipo^^ EDIT: Ho avuto una mezza illuminazione Se metto a sistema ...

Buongiorno! Ho avuto difficoltà con alcuni esercizi, spero che qualcuno mi possa aiutare 1) Geometria differenziale.. Assegnata $C :\{(x=t^2/2),(y=2sqrt2/3t^(3/2)),(z=t):}$ determinare la lunghezza dell'arco ottenuto al variare di t nell'intervallo $[0,2]$ Non saprei da dove iniziare.. è la prima volta che mi capita un esercizio di geometria differenziale senza che mi sia assegnato un punto della curva... 2) Determinare il valore assoluto della componente $v_r$, del vettore ...

in $RR$^4 sono dati i seguenti sottoinsiemi dipendenti da k $in$ $RR$. W1={(x,y,z,t) $in$ $RR$^4 : x+y-3t=0; 2x+y+z=0; x+z+kt=0}, W2=L{(1,2,1,0),(1,1,1,1),(0,k^2,0,-4)}, W3={(x,y,z,t)$in$ $RR$^4 : x+3y-z+t=k^2-2k}, W4={(1,2,0,1),(0,1,0,k). a) dire per quali k $in$ $RR$ gli insiemi sono sottospazi di R^4 e in tal caso determinarne una base e la dimensione. b) per k=2 ...

In \(\mathbb{R}^4\) prendiamo la 1-forma \(A_\mu dx^{\mu}\). Il suo differenziale esterno \(dA\) è allora \(\partial_\nu A_{\mu}dx^\nu \wedge dx^\mu\). Giusto? Se è così allora, in coordinate, dovremmo avere \[(dA)_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_{\nu}A_{\mu}.\] E invece secondo il libro che sto leggendo ho sbagliato il segno, è corretto \[(dA)_{\mu \nu}=\partial_\nu A_\mu - \partial_{\mu}A_{\nu}.\] Mah. Che ne dite?

Qualcuno sa come si risolvono questi esercizi? Siano v e w due vettori non nulli e non paralleli tra loro e sia T : V-> V l’applicazione lineare definita da T(x) = ((x ^v) · w)w. R.1) T non ammette autovettori. R.2) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a w. R.3) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a v. R.4) Nessuna delle altre risposte. R.5) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli complanari con v e w Siano v e w vettori liberi con w ...