Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti,
sono alle prese con la Geometria/Algebra lineare e non ho capito come risolvere questi esercizi, se mi date una mano magari spiegandomelo vi sarei grato.
Esercizio. 1
Sia $V = \{f(x, y, z) \in R3: x + y - z = 0; x - y + z = 0\}$ e sia $f: R^3 \to R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che $\lambda= 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori
$(1; 1; 1)$ e $(1; 1; 2)$.
(i) Determinare una base per $V$ .
(ii) Provare che $f$ non è ...
Questa volta ho un dubbio sull'intersezione di due nuclei:
Si considerino le applicazioni lineari
$ f : RR^(4) rarr RR^(2) : (x, y, z, t) rarr (x - 5t - 3z, y + 6z - 2t) $
$ g : RR^(4) rarr RR^(3) : (x, y, z, t) rarr (x + 2y - z, x + y + t, z - t). $
Allora $ Kerf nn Kerg $ è uguale a
R.1) $ (-3t, 2t, t, t) in RR^(4) | t in RR $
R.2) $ RR^(4) $
R.3) $ O/ $
R.4) $ {(0, 0, 0, 0)} $
R.5) $ {(0, 0, 0)} $
Ho calcolato il nucleo di $ f $ (di dim 2) e mi viene $ {(5,2,0,1),(-3,-6,1,0)} $ e quello di $ g $ (di dim 1) $ {(-3,2,1,1)} $ .
Mi verrebbe da dire, quindi, che la ...
Ciao sapete risolvere questo quesito:
Determinare i piani passanti per P(1,0,0), perpendicolare al piano : x+2z=0 ed aventi distanza 1 dalla
retta r: y=1, z=2x-1
La traccia mi dà $f(x,y,z,t)=(x+y+t,2x+z,x-y+z-t)$ e mi chiede per quali valori del parametro $k$ il vettore $v=(k,k-1,-k-2,-3) \in Ker(f)$.
Inizialmente ho pensato che $Ker(f)$ è per definizione il sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ (in questo caso) dei vettori che hanno come immagine in $\mathbb{R}^3$ il vettore nullo $f(\bar{v})=\bar{0}$, quindi ho raccolto l'immagine di $v$ e l'ho posta uguale a zero. Secondo voi ho fatto bene?
scusate non riesco a risolvere questo es:
Trovare(in un sistema ortonormale e positivo) la direzione dell'asse della famiglia propria di piani avente equazione:
$ (h+2k)x + (h+2k)y - (h-k)z=0 $
con $ h,k in RR $
Le possibili soluzioni sono:
1) i-j
2) 2i-j
3) i-j+k
4) i+j
So che andrebbe fatto un tentativo di soluzione, ma io non so dove iniziare!
L'unica osservazione che mi viene è che so che il vettore $ (h+2k,h+2k, -h-k) $ è ortogonale al piano, ma non so a cosa mi ...
mi trovo davanti ha questa intersezione
$\{(xy = 2z),(x - y - 2z = 0):}$
naturalmente questa intersezione mi darà una conica.
come faccio a trovare l'equazione di questa conica??
Grazie mille
Buonasera.
Mi sono venuti tre dubbi studiando le forme quadratiche:
1) Data una matrice A rappresentativa di una forma quadratica. Per metterla in forma canonica, trovo gli autovalori di A e determino una base di autovettori. Quindi, da quella base di autovettori ci estrapolo una base ortonormale (procedimento che so fare). La matrice ottenuta moltiplicata per A dà la forma canonica (la quale è una matrice diagonale i cui elementi sono uguali alla segnatura). E' giusto?
3) Seguendo il ...
salve a tutti ho un problemino con questo esercizio
Fissato nel piano affine euclideo tridimensionale usuale $ E^3 $ un riferimento cartensiano ortonormale, determinare le rette per il punto $P=P(5,6,7)$ che formano angoli uguali con gli assi coordinati.
io procedo cosi
trovo l'equazione parametrica passante per P
quindi avrò $x=5+a*t$
ecc
ecc
poi ho le condizione che riguardano gli ...
Salve a tutti..
vado subito al sodo..
l'esercizio che sto provando a svolgere è il seguente: devo determinare l'equazione del cilindro contenente la conica $\{(x^2 - xy + y^2 - 1 = 0),(z = 0):}$
e avente vertice in $V=(1,1,1,0)$
a questo punto prendo il generico punto $P$ appartenente alla conica: $P=(alpha,beta,0)$ e riscrivo l'equazione della conica: $alpha^2 - alpha beta + beta^2 - 1 = 0$
ora il testo mi suggerisce di scrivere la retta $PV$:
$\{(x = alpha + t),(y = beta + t),(z = t):}$
salve, ho problemi nella risoluzione di un esercizio di questo genere:
Si da' l'applicazione lineare R^4 \rightarrow R^3 definita dalla formula
T(x1, x2, x3, x4) = (3x1+x2, x1+x2+ax3+x4, 4x1+x2-ax3) dove 'a' è un parametro.
A)determinare la matrice M associata all'applicazione lineare T relativa alle basi standard R^4 e R^3;
B)determinare la forma canonica ridotta a scala della matrice M
C)determinare in funzione del parametro 'a':
-kerT
-base in kerT
-dimensione di kerT
-imT
-base in ...
Vi propongo questo problema:
Fissato un riferimento cartesiano ortonormale positivo in $S_3$ si considerino il punto $P$ $\(0,1,3):$ e le rette
$r:$ $\{(x-2z-1=0),(y+3z=0):}$ $s:$ $\{(x+z=0),(y-z=0):}$
a) si determini la retta $t$ passante per il punto $P$ ortogonale alla retta $r$ e incidente alla retta $s$
b) si verifichi che le rette $r$ ed $s$ siano ...
Ciao, amici! Il mio libro accenna che una $n$-upla, per esempio \(\bf u\), a componenti reali può essere vista come una funzione $u:{1,2,...,n}->RR$ (sic, con $u$ non grassetto). Io avrei pensato piuttosto che il dominio di \(\bf u\) è sì l'insieme degli indici, ma avrei detto che il codominio sia il prodotto cartesiano generalizzato $RR^n$... Sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!
Buongiorno, ho un problema con un piccolo esercizio!
Determinare i valori del parametri h per i quali le rette del piano euclideo:
$r : 2x + y=0$
$r' : x-2y+2=0$
$r'' : 3x-y+h+4=0$
Appartengono allo stesso fascio.
Sinceramente non saprei proprio come farlo, ho provato a trovare il fascio che contiene quelle tre rette ma mi sono bloccato quasi subito.. e altre idee non ne ho!
Qualcuno che mi aiuta? Grazie mille in anticipo^^
EDIT:
Ho avuto una mezza illuminazione
Se metto a sistema ...
Buongiorno! Ho avuto difficoltà con alcuni esercizi, spero che qualcuno mi possa aiutare
1) Geometria differenziale..
Assegnata $C :\{(x=t^2/2),(y=2sqrt2/3t^(3/2)),(z=t):}$ determinare la lunghezza dell'arco ottenuto al variare di t nell'intervallo $[0,2]$
Non saprei da dove iniziare.. è la prima volta che mi capita un esercizio di geometria differenziale senza che mi sia assegnato un punto della curva...
2) Determinare il valore assoluto della componente $v_r$, del vettore ...
in $RR$^4 sono dati i seguenti sottoinsiemi dipendenti da k $in$ $RR$.
W1={(x,y,z,t) $in$ $RR$^4 : x+y-3t=0; 2x+y+z=0; x+z+kt=0},
W2=L{(1,2,1,0),(1,1,1,1),(0,k^2,0,-4)},
W3={(x,y,z,t)$in$ $RR$^4 : x+3y-z+t=k^2-2k},
W4={(1,2,0,1),(0,1,0,k).
a) dire per quali k $in$ $RR$ gli insiemi sono sottospazi di R^4 e in tal caso determinarne una base e la dimensione.
b) per k=2 ...
In \(\mathbb{R}^4\) prendiamo la 1-forma \(A_\mu dx^{\mu}\). Il suo differenziale esterno \(dA\) è allora \(\partial_\nu A_{\mu}dx^\nu \wedge dx^\mu\). Giusto?
Se è così allora, in coordinate, dovremmo avere
\[(dA)_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_{\nu}A_{\mu}.\]
E invece secondo il libro che sto leggendo ho sbagliato il segno, è corretto
\[(dA)_{\mu \nu}=\partial_\nu A_\mu - \partial_{\mu}A_{\nu}.\]
Mah. Che ne dite?
Qualcuno sa come si risolvono questi esercizi?
Siano v e w due vettori non nulli e non paralleli tra loro e sia T : V-> V l’applicazione lineare definita da
T(x) = ((x ^v) · w)w.
R.1) T non ammette autovettori.
R.2) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a w.
R.3) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a v.
R.4) Nessuna delle altre risposte.
R.5) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli complanari con v e w
Siano v e w vettori liberi con w ...
Buongiorno a tutti,
Stavo cercando di risolvere questa domanda:
Sia A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} e B = {a; b; c} e sia f : A → B definita da:
f(1) = a; f(2) = b; f(3) = b; f(4) = c; f(5) = a;
f(6) = c; f(7) = b; f(8) = a; f(9) = c; f(10) = b;
1) Dire se la funzione f e' iniettiva, suriettiva o biettiva
La funzione non e' iniettiva f(1) = a; f(5) = a;
Ma e' suriettiva, B = {a; b; c} -> f(1) = a; f(10) = b; f(4) = c; anche se f(9) = c;?
Confermate?
2) Sia R la relazione su A definita, ...
Determinare nello spazio euclideo l’equazione del piano tangente alla sfera $x^2 + y^2 + z^2 − 4y − 7z − 25 = 0$ nel punto $A=(−5, 0, 0)$
Io pensavo di trovare il centro e il raggio della circonferenza poi trovare il fascio di piani che passa per $A$ ovvero $\gamma$($x$ - $x_0$) + $\mu$($y$ - $y_0$) + $\lambda$($z$ - ...
Determinare nello spazio euclideo la distanza dei piani p : x+2y-3z = 0, p' : x+y+z+4 = 0
Per trovare la distanza mi trovo un punto appartenete a uno dei piani, per esempio $A(1,2,-7)$ appartenente al piano $p'$ e poi mi calcolo la distanza dal piano $p$ al punto $A$..Ma visto che i 2 piani non sono paralleli al variare di $x$ e $y$ sul piano $p'$ cambiano anche le distanze, cosa dovrei fare in questo caso? ...
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