Ho qualche dubbio su alcuni esercizi..

[Serxe]

Buongiorno! Ho avuto difficoltà con alcuni esercizi, spero che qualcuno mi possa aiutare

1) Geometria differenziale..

Assegnata $C :\{(x=t^2/2),(y=2sqrt2/3t^(3/2)),(z=t):}$ determinare la lunghezza dell'arco ottenuto al variare di t nell'intervallo $[0,2]$

Non saprei da dove iniziare.. è la prima volta che mi capita un esercizio di geometria differenziale senza che mi sia assegnato un punto della curva...


2) Determinare il valore assoluto della componente $v_r$, del vettore $v = i + j$ sulla retta $r: x-y+3=0$

Stavolta ho pensato di fare il prodotto scalare tra le componenti di $v$ e i parametri direttori di $r$, perchè mi da la lunghezza di $v_r$ che è quello che cercavo!
Però mi viene $2$ mentre dovrebbe venire $1/sqrt2$


3) Questo l'ho risolto ma sono in dubbioso riguardo al procedimento che ho seguito...

Determinare la controimmagine del vettore $(1,2)$ secondo l'applicazione lineare $L:R^2 -> R^2$ definita da $L(x_1,x_2) = (x_1 + x_2, 2x_1 + 2x_2)$

Ho semplicemente fatto:

$\{(x_1 + x_2 = 1),(2x_1 + 2x_2 = 2):}$

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 = h $
$x_2=1-h$

Mi pare un po' banale...

[Quinzio]

1)
Il trucco è quello di ricavare la velocità del punto (derivata su t), quindi trovare il modulo della velocità, quindi integrare.
Se la posizione è $(t^2/2,(2\sqrt2)/(3)t^(3/2),t)$, la velocità è: $(t, \sqrt(2 t), 1)$.
Il modulo della velocità : $\sqrt(t^2+2t+1)=|t+1|$.
Integri sempre rispetto a t e calcoli su $[0,2]$

2) I parametri direttori della retta devono essere normalizzati, cioè con modulo =1.

3) Il risultato è ok, forse avresti dovuto risolvere prima il sistema omogeneo, e poi sommargli la soluzione particolare, ma il risultato non cambia.

[Serxe]

Ti ringrazio! Di calcolare il modulo nel secondo esercizio mi ero scordato completamente... mentre al metodo per fare il primo non ci sarei mai arrivato