Esercizi d'esame

[d1gu4k3r]

scusate non riesco a risolvere questo es:
Trovare(in un sistema ortonormale e positivo) la direzione dell'asse della famiglia propria di piani avente equazione:
$ (h+2k)x + (h+2k)y - (h-k)z=0 $
con $ h,k in RR $
Le possibili soluzioni sono:
1) i-j
2) 2i-j
3) i-j+k
4) i+j
So che andrebbe fatto un tentativo di soluzione, ma io non so dove iniziare!
L'unica osservazione che mi viene è che so che il vettore $ (h+2k,h+2k, -h-k) $ è ortogonale al piano, ma non so a cosa mi serve!
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Sia $ T: RR ^(3) -> RR ^(3) $ l'applicazione definita da $ T(x,y,z)=(e^{x},e^{z},e^{y}). $ Allora T è
1) non lineare e iniettiva;
2) lineare e non iniettiva;
3) non lineare e suriettiva;
4)lineare e iniettvia;
5) non lineare e non iniettiva.
Ho provato a realizzare la matrice associata per analizzarlo meglio ma mi viene una cosa tipo:
$ | ( e^{} , 1 , 1 ),( 1 , 1 , e^{} ),( 1 , e^{} , 1 ) | $
da cui capisco che è iniettiva(credo), ma non so analizzare la linearità...help me!

[Quinzio]

"d1gu4k3r":scusate non riesco a risolvere questo es:
Trovare(in un sistema ortonormale e positivo) la direzione dell'asse della famiglia propria di piani avente equazione:
$ (h+2k)x + (h+2k)y - (h-k)z=0 $
con $ h,k in RR $
Le possibili soluzioni sono:
1) i-j
2) 2i-j
3) i-j+k
4) i+j
So che andrebbe fatto un tentativo di soluzione, ma io non so dove iniziare!
L'unica osservazione che mi viene è che so che il vettore $ (h+2k,h+2k, -h-k) $ è ortogonale al piano, ma non so a cosa mi serve!

Allora, o vai per esclusione, siccome hai 4 scelte, oppure risolvi il problema in modo esaustivo.
Per esclusione:
prendo la 1) le sue componenti sono $x=1,y=-1,z=0$. sostituisco nell'equazione del piano e deve venire 0, $\forall k \forallh$
Modo esaustivo:
Prendi a caso un $h$ e un $k$. Ottieni un piano. Ripeti l'operazione cambiando i parametri. Avrai due piani. Calcola la loro retta intersezione.

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Sia $ T: RR ^(3) -> RR ^(3) $ l'applicazione definita da $ T(x,y,z)=(e^{x},e^{z},e^{y}). $ Allora T è
1) non lineare e iniettiva;
2) lineare e non iniettiva;
3) non lineare e suriettiva;
4)lineare e iniettvia;
5) non lineare e non iniettiva.
Ho provato a realizzare la matrice associata per analizzarlo meglio ma mi viene una cosa tipo:
$ | ( e^{} , 1 , 1 ),( 1 , 1 , e^{} ),( 1 , e^{} , 1 ) | $
da cui capisco che è iniettiva(credo), ma non so analizzare la linearità...help me!

La linearità dice che $f(a+b)=f(a)+f(b)$. Adesso, è vero che $f(a+b)=e^(a+b)=e^a+e^b$ ???