Applicazione lineare
La traccia mi dà $f(x,y,z,t)=(x+y+t,2x+z,x-y+z-t)$ e mi chiede per quali valori del parametro $k$ il vettore $v=(k,k-1,-k-2,-3) \in Ker(f)$.
Inizialmente ho pensato che $Ker(f)$ è per definizione il sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ (in questo caso) dei vettori che hanno come immagine in $\mathbb{R}^3$ il vettore nullo $f(\bar{v})=\bar{0}$, quindi ho raccolto l'immagine di $v$ e l'ho posta uguale a zero. Secondo voi ho fatto bene?
Inizialmente ho pensato che $Ker(f)$ è per definizione il sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ (in questo caso) dei vettori che hanno come immagine in $\mathbb{R}^3$ il vettore nullo $f(\bar{v})=\bar{0}$, quindi ho raccolto l'immagine di $v$ e l'ho posta uguale a zero. Secondo voi ho fatto bene?
Risposte
E quindi qual è il risultato ?
$k=2$
Il tuo metodo può andare. La matrice associata alla base canonica è:
\[f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]
Il kernel lo trovi uguagliando l'immagine di un vettore a zero; in altre parole risolvendo il sistema omogeneo:
\[ f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
I due metodi sono equivalenti direi ma questo ha il pregio di permettere l'uso dell'algebra lineare.
Putroppo noto che \(\displaystyle R3 = R2 - R1 \) quindi il rango della matrice è \(\displaystyle 2 \). Lascio a te le dovute conclusioni
. Una volte trovato il kernel puoi anche usarlo per determinare tutti i \(\displaystyle k \).
\[f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]
Il kernel lo trovi uguagliando l'immagine di un vettore a zero; in altre parole risolvendo il sistema omogeneo:
\[ f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
I due metodi sono equivalenti direi ma questo ha il pregio di permettere l'uso dell'algebra lineare.
Putroppo noto che \(\displaystyle R3 = R2 - R1 \) quindi il rango della matrice è \(\displaystyle 2 \). Lascio a te le dovute conclusioni
. Una volte trovato il kernel puoi anche usarlo per determinare tutti i \(\displaystyle k \).
Grazie 
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