Intersezione quadrica- piano non coordinato

[Malakia11]

mi trovo davanti ha questa intersezione

$\{(xy = 2z),(x - y - 2z = 0):}$

naturalmente questa intersezione mi darà una conica.
come faccio a trovare l'equazione di questa conica??
Grazie mille

[Quinzio]

Prova a pensare se invece della base canonica il mio sistema di riferimento fosse un $Ox'y'z'$, dove $z'$ è parallelo alla normale del piano che ti viene dato.
In quel sistema di riferimento ti basterebbe mettere $z=0$ in un qualsiasi equazione e avresti subito la tua conica.
Quindi facciamolo. Come base nuova si può prendere ${1/ (\sqrt2)(1,1,0),(b),1/(\sqrt6) (1,-1,-2)}$, dove $b$ completa la base ortonormale.
Adesso si fa il cambio di base al nuovo sistema di riferimento, si trova l'equazione della quadrica nelle nuove coordinate $x', y', z'$ e si pone $z'=0$.