Esercizio sui sottospazi di R^4
in $RR$^4 sono dati i seguenti sottoinsiemi dipendenti da k $in$ $RR$.
W1={(x,y,z,t) $in$ $RR$^4 : x+y-3t=0; 2x+y+z=0; x+z+kt=0},
W2=L{(1,2,1,0),(1,1,1,1),(0,k^2,0,-4)},
W3={(x,y,z,t)$in$ $RR$^4 : x+3y-z+t=k^2-2k},
W4={(1,2,0,1),(0,1,0,k).
a) dire per quali k $in$ $RR$ gli insiemi sono sottospazi di R^4 e in tal caso determinarne una base e la dimensione.
b) per k=2 determinare un vettore di W2 che appartenga anche a W3.
ho provato a svolgerlo con il metodo che utilizzo per dimostrare un sottospazio ma mi vengono calcoli che non mi portano a nulla. quello che mi confonde è anche la diversa espressione di w2,w4 rispetto ai due restanti (mi da i vettori anzichè le equazioni)... potreste darmi una mano x favore? vi ringrazio in anticipo
W1={(x,y,z,t) $in$ $RR$^4 : x+y-3t=0; 2x+y+z=0; x+z+kt=0},
W2=L{(1,2,1,0),(1,1,1,1),(0,k^2,0,-4)},
W3={(x,y,z,t)$in$ $RR$^4 : x+3y-z+t=k^2-2k},
W4={(1,2,0,1),(0,1,0,k).
a) dire per quali k $in$ $RR$ gli insiemi sono sottospazi di R^4 e in tal caso determinarne una base e la dimensione.
b) per k=2 determinare un vettore di W2 che appartenga anche a W3.
ho provato a svolgerlo con il metodo che utilizzo per dimostrare un sottospazio ma mi vengono calcoli che non mi portano a nulla. quello che mi confonde è anche la diversa espressione di w2,w4 rispetto ai due restanti (mi da i vettori anzichè le equazioni)... potreste darmi una mano x favore? vi ringrazio in anticipo
Risposte
Beh, ad esempio per w4 non ci vedo grosse difficoltà....
Se prendo i due vettori e li metto sotto forma di matrice
$((1,2,0,1),(0,1,0,k))$
Ho già una matrice ridotta per righe, quindi i due vettori sono già di sicuro una base di w4, $\forall k$.
Per w3 bisogna fare più attenzione, perchè se il termine noto non è nullo, allora non ho più un sottospazio, ma ho un iperpiano che non passa per l'origine.
L'equivalente in $RR^3$ di questa situazione è un piano che non passa per l'origine, quindi non è sottospazio. Quindi devi dire se è un sottospazio o no risolvendo $k^2-2k=0$
Anche w2 è abbastanza chiaro. Hai un sottospazio di $RR^4$. Qui non ci sono dubbi che sia un sottospazio perchè è dato in forma di span di un insieme di vettori. L'unico dubbio è la dimensione, che non si vede chiaramente causa di k.
v1 e v2 non sono dipendenti, si vede senza troppe formalità. Rimane da vedere se e quando v3 è combinazione vettoriale degli altri.
Cioè $\lambda_1 (1,2,1,0) + \lambda_2 (1,1,1,1) = (0,k^2,0,-4)$.
Per avere gli zeri di v3, i parametri devono essere $\lambda_1= -\lambda_2$, non ci sono alternative.
Quindi $\lambda_2 = -4$ (la quarta componente di v3). Quindi $k^2 = 4$, se quest'ultima condizione è verificata v3 è combinazione di v1 e v2.
Ok ?
Se prendo i due vettori e li metto sotto forma di matrice
$((1,2,0,1),(0,1,0,k))$
Ho già una matrice ridotta per righe, quindi i due vettori sono già di sicuro una base di w4, $\forall k$.
Per w3 bisogna fare più attenzione, perchè se il termine noto non è nullo, allora non ho più un sottospazio, ma ho un iperpiano che non passa per l'origine.
L'equivalente in $RR^3$ di questa situazione è un piano che non passa per l'origine, quindi non è sottospazio. Quindi devi dire se è un sottospazio o no risolvendo $k^2-2k=0$
Anche w2 è abbastanza chiaro. Hai un sottospazio di $RR^4$. Qui non ci sono dubbi che sia un sottospazio perchè è dato in forma di span di un insieme di vettori. L'unico dubbio è la dimensione, che non si vede chiaramente causa di k.
v1 e v2 non sono dipendenti, si vede senza troppe formalità. Rimane da vedere se e quando v3 è combinazione vettoriale degli altri.
Cioè $\lambda_1 (1,2,1,0) + \lambda_2 (1,1,1,1) = (0,k^2,0,-4)$.
Per avere gli zeri di v3, i parametri devono essere $\lambda_1= -\lambda_2$, non ci sono alternative.
Quindi $\lambda_2 = -4$ (la quarta componente di v3). Quindi $k^2 = 4$, se quest'ultima condizione è verificata v3 è combinazione di v1 e v2.
Ok ?
Per W1 dovresti fare il sistema con le equazioni assegnate e discutere il rango della matrice $A$ formata dalle incognite $((1,1,0,-3),(2,1,1,0),(1,0,1,k))$, prendendo $|(1,0),(1,1)|$ come minore $M_2$ e i due orlati
$O_1:|(1,1,0),(2,1,1),(1,0,1)|=0$ e $O_2:|(1,0,-3),(1,1,0),(0,1,k)|=k-3$
È evidente che il secondo si annulla per $k=3$, quindi avresti una matrice di rango 2, quindi $\infty^(4-2)$ soluzioni. Da qui ricavi il sistema corrispondente $\{(y=3t-x),(y+z=-2x):}$ ponendo $x=\alpha$ e $t=\beta$ ottenendo: $\{(x=\alpha),(y=3\beta-\alpha),(z=-\alpha-3\beta),(t=\beta):}$
Quindi la base $B=\{(1,-1,-1,0),(0,3,-3,1)}$
Penso si risolva così
$O_1:|(1,1,0),(2,1,1),(1,0,1)|=0$ e $O_2:|(1,0,-3),(1,1,0),(0,1,k)|=k-3$
È evidente che il secondo si annulla per $k=3$, quindi avresti una matrice di rango 2, quindi $\infty^(4-2)$ soluzioni. Da qui ricavi il sistema corrispondente $\{(y=3t-x),(y+z=-2x):}$ ponendo $x=\alpha$ e $t=\beta$ ottenendo: $\{(x=\alpha),(y=3\beta-\alpha),(z=-\alpha-3\beta),(t=\beta):}$
Quindi la base $B=\{(1,-1,-1,0),(0,3,-3,1)}$
Penso si risolva così
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