Relazione d’equivalenza e dimostrazione

[david78]

Buongiorno a tutti,

Stavo cercando di risolvere questa domanda:

Sia A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} e B = {a; b; c} e sia f : A → B definita da:
f(1) = a; f(2) = b; f(3) = b; f(4) = c; f(5) = a;
f(6) = c; f(7) = b; f(8) = a; f(9) = c; f(10) = b;

1) Dire se la funzione f e' iniettiva, suriettiva o biettiva
La funzione non e' iniettiva f(1) = a; f(5) = a;
Ma e' suriettiva, B = {a; b; c} -> f(1) = a; f(10) = b; f(4) = c; anche se f(9) = c;?
Confermate?

2) Sia R la relazione su A definita, per ogni x; y ∈ A, da:
xRy se e solo se f(x) = f(y):
Dimostrare che R e' una relazione d’equivalenza e dire quanti elementi ha l’insieme quoziente A/R.

Relazione d’equivalenza = RST (riflessiva, simmetrica e transitiva)
Quale potrebbe essere una possibile dimostrazione e come contare gli elementi dell’insieme quoziente A/R.?

Riflessiva = xRx?
Questa e' data f(x) = f(y) sicuramente e' simmetrica=xRy
Transitiva xRy yRz -> xRz?
Potreste con un esempio spiegarmi?

Grazie in anticipo!

[gio73]

Per il quesito 1: tutto B è coperto? vero! Credo che la parola giusta sia proprio suriettività. Ogni elemento di B ha una sola controimmagine (è la parola giusta?) in A? no, allora non è iniettiva. Credo di confermare, ma aspettiamo anche altri pareri.

Per il quesito 2, ma sto proprio ragionando insieme a te, dunque non ti fidare, riflessiva lo è senz'altro, se f(x)=f(y) a maggior ragione f(x)=f(x), e mi pare pure transitiva. Ora quello che ci vorrebbe è un esempio su cui ragionare...
Proviamo così, poi mi dirai tu, f(x)=x, la bisettrice di I e IV quadrante, secondo te può andare come esempio?
A risentirci!

[david78]

Innanzitutto, grazie per la risposta.
Il mio problema e' mettere in pratica la teoria su differenti esempi. Qualsiasi link referenziato e' il benvenuto.

Riguardo la sua risposta:
> a maggior ragione f(x)=f(x)
Banalmente, se la R e' esistente solo se xRy e' f(x) = f(y), come puo' essere xRx?
Ovvero, se f(1) = a; ma a puo' essere anche f(8) = a;

Se f(1) = a; f(5) = a; e f(8) = a; suppongo a ∈ N vuol dire che l'immagine di f(1,5 e 8) e' associata allo stesso punto a percio' potrei escludere la bisettrice di I e IV quadrante, graficamente non e' una funzione crescente.
Sbaglio?

Grazie!