Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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buongiorno!!
vorrei chiedere una piccola cosa, nn riesco a capire se risolvo bene questo esercizio:
Sia $ f: R^3 rarr R^3 $ così definita : $ f(x,y,z)=(2x, x+y, x) $ e la seguente base $ B=(1,0,0),(1,2,1),(0,1,1) $ si determini la matrice $ Af $ che rappresenta $ f $ nella base $ B $ !!
Allora io procedo in qst modo calcolo le immagini di $ f $ rispetto alla base $ B $ e i vettori così ottenuti mettendoli in colonna mi danno la matrice che rappresenta ...
Perchè:
$DimVλ=DimV−r(A)$ ??
qualcuno me la spiega o mi dice il nome del teorema?
Buonasera a tutti.
Devo calcolare per quali valori di (x,y,z) la seguente matrice risulta a rango pieno. Inizialmente ho pensato di utilizzare l'algoritmo di eliminazione di Gauss, ma dal momento che la matrice dei coefficenti non ha solo numeri ma anche incognite, mi risulta molto difficile. La matrice è la seguente:
$((2x,2y-2,2z),(0,1,1))$
Non mi serve la soluzione di questo esercizio in particolare, vorrei imparare un metodo generale che mi permetta di risolvere tutti gli esercizi di questo tipo. ...
Esercizio 1.1. [2.1] Determinare l’equazione parametrica e Cartesiana della retta del piano
(a) Passante per i punti A(1, 2) e B(−1, 3).
(c) Di equazione Cartesiana y = 2x + 5. Determinare inoltre un punto appartenente a tale retta.
Io l'ho risolta così:
a)
vettore direzionale: D(-2,1)
eq. parametrica:
\(\displaystyle
x= 1 - 2t
\)
\(\displaystyle y= 2 + t
\)
da cui \(\displaystyle t= y-2 \) e \(\displaystyle 2y= - x +5 \)
ma sostituendo le coordinate di A l' equazione non risulta ...
Dati due vettori v e w, u è il vettore differenza (v-w); \(\displaystyle \theta \) è l'angolo convesso compreso tra i due vettori.
Partendo da questa : \(\displaystyle |u|² = (|w|sin\theta)² +( |v|-|w|cos\theta)² \)
come arrivo alla formula finale?
\(\displaystyle cos\theta= (v*w)/(|v|*|w|) \)
???
Altra domanda: perchè (con gli stessi vettori v e w dell'esempio precedente)
\(\displaystyle |v|²*|w|²*(1-cos² \theta ) \) è uguale a \(\displaystyle |v|² |w|² - (v*w)² \)
???
Salve, sto preparando un compito di topologia e facendo degli esercizi mi sono inbattuto in uno che non riesco a risolvere. Ll'esercizio è questo:
Sia $A={(x,y,z) in RR^3| 2xy^2+z^3=4xyz-x^2z}$
a) Provare che l'insieme $A$ non è compatto
b) Provare che l'insieme $A$ è connesso
Allora la prima parte sono riuscito a provarla, infatti basta notare che se pongo $(x,y,z)=(z,z,z)$ questo appartiene all'insieme $A$, ma quella è una parametrizzazione di una retta, la quale non è mai ...
Scrivere la matrice associata al sottospazio
U={p(t)€R3[t]: p(1)=0, p(-1)=0}
L'esercizio mi chiede di calcolarne la dimensione e trovarne una base... quindi ho pensato di scrivere il sottospazio sottoforma di matrice... ma non mi riesce.. un aiuto?
Appunti dalla lezione:
Presi due sottospazi di $V$, $V1$ e $V2$:
$V1 \oplus V2$ è la somma diretta: associo ad ogni elemento di $V1$ un elemento di $V2$.
$V1 + V2$ è la somma.
Sia f la funzione che ad ogni coppia restituita dalla somma diretta associa la somma dei due valori della coppia.
f è suriettiva? Sì, perché ad ogni coppia restituitami dalla somma diretta, esiste il suo valore associato, dato dalla somma.
f ...
L'esercizio dice:
Ricordando che $X^-1A^nX$ = $(X^-1AX)^n$ , determinare la matrice A tale che $A^3=((-20,-7),(84,29))$ e calcolare $(2,1)A$.
Io ho calcolato gli autovalori della matrice data e ho intuito di fare la radice cubica di questi, ma cosa devo farne poi?
Sono nel pallone xD
Devo determinare i valori di k per cui la dimensione del nucleo di f è minima.
La trasformazione lineare è la seguente: $((-1-k,0,k+2,k^2-2),(-1,k-3,1,0),(-2-k,0,k+2,k^2-2))$ .
Io procedo così:
Considerato che $dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$ allora dato che è una trasfomazione lineare $f:R^4 --->R^3$ la $dim(Im(f))=3$ dunque, posso cancellare una colonna dalla matrice: cancello l'ultima e diventa:
$((-1-k,0,k+2),(-1,k-3,1),(-2-k,0,k+2))$ e pongo il determinante di questa diverso da 0.
Sviluppo per la 2a colonna con La Place e trovo che i valori di k per cui ...
Salve a tutti è la prima volta che scrivo su questo forum spero siate clementi se ho sbagliato a scrivere qualcosa
Il mio problema è che fissato un sistema di coordinate cartesiane (O, x, y, z) dello spazio euclideo, ho 3 rette: r, s, q (nessuna delle 3 giacente su un piano) e mi si chiede di determinare tutte le rette incidenti alle rette date.
Penso che debba trovarmi una stella di rette, ma non so come impostarla dato che ho 6 piani di cui tener conto.
In attesa di una vostra risposta ...
Salve a tutti ho questi due esercizi che non so proprio in che modo svolgerli, mi potete aiutare?
Scrivere l'immagine f(x,y,z) dell'endomorfismo f:R^3 in R^3 tale che considerata la base canonica B=(e1,e2,e3) di R^3 risulti:
f(e2-e1)= (0,2,2) e f(e1+e2+e3)=(3,3,5)
ed e1 sia autovetture di autovalore 1.
Trovare una base per il nucleo ker(f) e per l'immagine.
L'altro invece è:
Scrivere l'immagine f(x,y,z) dell'endomorfismo f:R^3 in R^3 tale che considerata la base canonica ...
Buonasera, volevo sapere se la seguente definizione di matrice ridotta a scala è corretta:
"Una matrice è ridotta a scala se per ogni riga non nulla esiste un coefficiente non nullo \(\displaystyle \alpha_{j,k} \) , chiamato pivot, tale che tutti i coefficienti \(\displaystyle \alpha_{j,k-1} \) , \(\displaystyle \alpha_{j,k-2} \) ...
... \(\displaystyle \alpha_{j,1} \) e \(\displaystyle \alpha_{j+1,k} \) , \(\displaystyle \alpha_{j+2,k} \) ...
... \(\displaystyle \alpha_{j+m,k} \) siano ...
Ho una curva algebrica di cui conosco tutti i punti singolari.
Per ogni punto singolare conosco tutti i posti di centro quel punto singolare.
Per ogni posto conosco molteplicita', classe e tangente.
Come faccio a sapere per ciascun punto singolare se si tratta di un nodo o di una cuspide?
la traccia mi dice che considerando in uno spazio un riferimento cartesiano ortogonale oxyz devo scrivere l'equazione della retta s passante per P ( 0 0 -1 ) incidente e ortogonale alla retta di equazione ( y=2 , x = 7 - 2 z ) , trovare il piano per P e per r
ho ragionato in questa maniera non riuscendo però a essere sicura nei procedimenti e avrei bisogno d un aiuto:
considero che le rette passanti per P e perpendicolare a r ce ne sono infinite per cui cerco s considerando il fascio dei ...
Salve a tutti ho dei dubbi sulla definizione di azione propriamente discontinua, perchè ho trovato due definizioni che a me sembrano diverse.
Prima definizione:
Sia $G$ un gruppo discreto (quindi un gruppo numerabile con la topologia discreta).
Si dice che $G$ agisce in modo propriamente discontinuo sulla varietà differenziabile $M'$ se
1) l'azione è $C^{\infty}$
2) $\forall x\in M'\quad \exists U$ intorno di $x$ tale che l'insieme ...
Sono letteralmente caduto nel pallone con questa matrice: $A=((-5,0,6),(k,1,-3),(-3,0,10))$
Non riesco a raccapezzarmi con il suo polinomio caratteristico.. Potreste calcolarmelo facendomi vedere i passaggi per capire cosa non riesco a fare? Vi ringrazio
Come si procede con un esercizio di questo tipo?
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR4: K = {(x;y;z;t):(h^2-1)z^2-t=h+1}$
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h K e un sottospazio vettoriale di R4.
Allora per essere un sottospazio vettoriale deve contenere il vettore nulle e deve verificare che $λ(x,y,z,t)+μ(a,b,c,d)inK$, ma non so proprio come procede.
Posso iniziare a verificare il primo punto magari scrivendomi l'equazione in funzione di t: $t=(h^2-1)z^2-h-1$. Ora, se il vettore nullo deve ...
siano a un numero reale ed ƒ: R^3 in R^3 un'applicazione tale che
$f ((1),(1),(1))=((0),(1),(1))$
$f ((0),(1),(1))=((-1),(-1),(-1))$
$f ((2),(2),(0))=f ((a),(4),(3))$
$f ((1),(2),(3))=((0),(0),(0))$
Supposto che ƒ sia endomorfismo di R^3, determinare a e dire se ƒ è diagonalizzabile
come faccio a determinare a??
graditissima spiegazione grazie in anticipo
in un piano oxy ho A ( 3 2 ) B ( 1 - 2 ) C ( 1 4 )
devo vedere se sono allineati, lo saprei fare nello spazio mettendo nella matrice i valori
| . ( x - x_a ) .... ( y - y_a ) .. ( z - z_a ) . |
| ( x_b - x_a ) ..( y_b - y_a ) ( z_b - z_a ) | = 0
| ( x_c - x_a ) ..( y_c - y_a ) ( z_c - z_a ) |
e poi calcolo il determinante
ma nell piano qualcuno puo aiutarmi?
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