Proiettare un vettore secondo una direzione fissata
Salve! Ho difficoltà nel seguente esercizio:
Proiettare il vettore $(-2,1,-1)$ di $R^3$ sul piano $W$ di equazione cartesiana $x-y-2z=0$ secondo la direzione $U=Span(1,-1,-1)$ . Credo rappresenti una proiezione obliqua, o sbaglio? Come si risolve?
Proiettare il vettore $(-2,1,-1)$ di $R^3$ sul piano $W$ di equazione cartesiana $x-y-2z=0$ secondo la direzione $U=Span(1,-1,-1)$ . Credo rappresenti una proiezione obliqua, o sbaglio? Come si risolve?
Risposte
Non sono certo di aver del tutto compreso a cosa faccia riferimento l'esercizio con il termine proiezione (ho l'impressione che ci sia una certa confusione tra i concetti di punto e vettore). Siccome ti è stato fornito un piano e una qualche direzione, devi probabilmente considerare la retta che parte dal punto (vettore) e ha una certa direzione e ne calcoli l'intersezione con il piano (mandi insomma ogni punto nell'intersezione). È corretto? È questo che stai facendo?
Se è così, allora non vedo grosse difficoltà nel risolvere l'esercizio. Probabilmente stai cercando di riportarti ad un qualche caso conosciuto, ma facendolo ti complichi solo la vita. O meglio, si risolve abbastanza facilmente senza fare ricorso ad alcuna formula conosciuta e forse anche prima. La retta che parte dal punto \(P = (-2,1,-1)\) e con direzione \( \mathbf{v} = (1,-1,-1)\) ha equazione parametrica \( \pi(t) = P + t\,\mathbf{v} \). Sostituendo questa equazione nell'equazione cartesiana del piano (riscritto utilizzando il prodotto scalare e definendo il vettore normale \( \mathbf{n} = (1, -1, -2) \)) si ottiene
\[ 0 = \langle \mathbf{n}, P + t\,\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{n}, P\, \rangle + \langle \mathbf{n}, \mathbf{v} \rangle\,t = -1 + 4\,t. \]
La soluzione è a questo punto immediata (è sufficiente risolvere per \(t\) e sostituire nell'equazione della retta.
Se però la definizione di proiezione era diversa, allora devi darmi qualche spiegazione in più.
Se è così, allora non vedo grosse difficoltà nel risolvere l'esercizio. Probabilmente stai cercando di riportarti ad un qualche caso conosciuto, ma facendolo ti complichi solo la vita. O meglio, si risolve abbastanza facilmente senza fare ricorso ad alcuna formula conosciuta e forse anche prima. La retta che parte dal punto \(P = (-2,1,-1)\) e con direzione \( \mathbf{v} = (1,-1,-1)\) ha equazione parametrica \( \pi(t) = P + t\,\mathbf{v} \). Sostituendo questa equazione nell'equazione cartesiana del piano (riscritto utilizzando il prodotto scalare e definendo il vettore normale \( \mathbf{n} = (1, -1, -2) \)) si ottiene
\[ 0 = \langle \mathbf{n}, P + t\,\mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{n}, P\, \rangle + \langle \mathbf{n}, \mathbf{v} \rangle\,t = -1 + 4\,t. \]
La soluzione è a questo punto immediata (è sufficiente risolvere per \(t\) e sostituire nell'equazione della retta.
Se però la definizione di proiezione era diversa, allora devi darmi qualche spiegazione in più.
Grazie mille, la soluzione è quella corretta. Ho capito il procedimento, in effetti era più semplice di quanto pensassi. Non consideravo il vettore come punto, grazie ancora.
Posso dunque considerare sempre un vettore come punto dello spazio?
Posso dunque considerare sempre un vettore come punto dello spazio?
Se ti piacciono le formule ce ne è una che fa al caso tuo.Precisamente risulta:
\(\displaystyle \vec{u_p}=\vec{u}-\frac{ \vec{u}\cdot\vec{n} }{\vec{v}\cdot\vec{n}}\vec{v}\)
dove \(\displaystyle \vec{u_p},\vec{u},\vec{v},\vec{n} \) sono rispettivamente il vettore proiezione ,il vettore dato,il vettore direzione ed il vettore normale al piano.Il punto indica il prodotto scalare ordinario.
Nel tuo caso risulta:
\(\displaystyle \vec{u}= \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix} , \vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\end{pmatrix} , \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\)
e quindi ,applicando la formula, trovi che :
\(\displaystyle \vec{u_p}= \begin{pmatrix}-\frac{7}{4}\\\frac{3}{4}\\-\frac{5}{4}\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \vec{u_p}=\vec{u}-\frac{ \vec{u}\cdot\vec{n} }{\vec{v}\cdot\vec{n}}\vec{v}\)
dove \(\displaystyle \vec{u_p},\vec{u},\vec{v},\vec{n} \) sono rispettivamente il vettore proiezione ,il vettore dato,il vettore direzione ed il vettore normale al piano.Il punto indica il prodotto scalare ordinario.
Nel tuo caso risulta:
\(\displaystyle \vec{u}= \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix} , \vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\end{pmatrix} , \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\)
e quindi ,applicando la formula, trovi che :
\(\displaystyle \vec{u_p}= \begin{pmatrix}-\frac{7}{4}\\\frac{3}{4}\\-\frac{5}{4}\end{pmatrix}\)
Grazie mille!
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