Dubbio sulle forme quadratiche (forma canonica e segnatura)
Buonasera.
Mi sono venuti tre dubbi studiando le forme quadratiche:
1) Data una matrice A rappresentativa di una forma quadratica. Per metterla in forma canonica, trovo gli autovalori di A e determino una base di autovettori. Quindi, da quella base di autovettori ci estrapolo una base ortonormale (procedimento che so fare). La matrice ottenuta moltiplicata per A dà la forma canonica (la quale è una matrice diagonale i cui elementi sono uguali alla segnatura). E' giusto?
3) Seguendo il ragionamento di prima, posso dire che: a) ridurre in forma canonica significa diagonalizzare la matrice? b) ridurre in forma canonica significa, geometricamente, "spostare" la conica affinché il suo centro di simmetria corrisponda con l'origine degli assi x,y,z?
2) Per vedere se una forma quadratica è definita positiva / negativa / semidefinita o non definita, devo prima ottenere la forma canonica e controllare il segno degli elementi sulla diagonale? Se sono tutti positivi, è definita positiva. Tutti negativi, è definita negativa. Se sono tutti positivi tranne qualcuno nullo è semidefinita positiva. Non definita vuol dire che gli elementi sono tutti nulli?
Grazie mille in anticipo per le risposte!
Mi sono venuti tre dubbi studiando le forme quadratiche:
1) Data una matrice A rappresentativa di una forma quadratica. Per metterla in forma canonica, trovo gli autovalori di A e determino una base di autovettori. Quindi, da quella base di autovettori ci estrapolo una base ortonormale (procedimento che so fare). La matrice ottenuta moltiplicata per A dà la forma canonica (la quale è una matrice diagonale i cui elementi sono uguali alla segnatura). E' giusto?
3) Seguendo il ragionamento di prima, posso dire che: a) ridurre in forma canonica significa diagonalizzare la matrice? b) ridurre in forma canonica significa, geometricamente, "spostare" la conica affinché il suo centro di simmetria corrisponda con l'origine degli assi x,y,z?
2) Per vedere se una forma quadratica è definita positiva / negativa / semidefinita o non definita, devo prima ottenere la forma canonica e controllare il segno degli elementi sulla diagonale? Se sono tutti positivi, è definita positiva. Tutti negativi, è definita negativa. Se sono tutti positivi tranne qualcuno nullo è semidefinita positiva. Non definita vuol dire che gli elementi sono tutti nulli?
Grazie mille in anticipo per le risposte!
Risposte
1) No, non devi moltiplicare per \(A\), devi coniugare:
\[D=U^TAU,\]
dove \(U\) è la matrice degli autovettori.
2) Si, ma non è una cosa ovvia. "Diagonalizzare" una matrice significa portarla in forma diagonale per mezzo di una trasformazione per similitudine come questa:
\[A \to S^{-1}AS. \]
Quando hai forme quadratiche, la trasformazione associata al cambiamento di variabile è diversa e si chiama congruenza:
\[A \to U^TAU.\]
Se però prendi una base ortonormale di autovettori la matrice \(U\) sarà unitaria e quindi \(U^T=U^{-1}\), per cui la congruenza e la similitudine coincidono.
\[D=U^TAU,\]
dove \(U\) è la matrice degli autovettori.
2) Si, ma non è una cosa ovvia. "Diagonalizzare" una matrice significa portarla in forma diagonale per mezzo di una trasformazione per similitudine come questa:
\[A \to S^{-1}AS. \]
Quando hai forme quadratiche, la trasformazione associata al cambiamento di variabile è diversa e si chiama congruenza:
\[A \to U^TAU.\]
Se però prendi una base ortonormale di autovettori la matrice \(U\) sarà unitaria e quindi \(U^T=U^{-1}\), per cui la congruenza e la similitudine coincidono.
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