Trasformazioni lineari

[lizzie.v]

salve, ho problemi nella risoluzione di un esercizio di questo genere:
Si da' l'applicazione lineare R^4 \rightarrow R^3 definita dalla formula
T(x1, x2, x3, x4) = (3x1+x2, x1+x2+ax3+x4, 4x1+x2-ax3) dove 'a' è un parametro.
A)determinare la matrice M associata all'applicazione lineare T relativa alle basi standard R^4 e R^3;
B)determinare la forma canonica ridotta a scala della matrice M
C)determinare in funzione del parametro 'a':
-kerT
-base in kerT
-dimensione di kerT
-imT
-base in imT
-rangoT
I miei dubbi principali sono su come si effettua la trasformazione da R^4 a R^3. In seguito, se le mie supposizioni non sono errate, dopo la scrittura della matrice trasformata e della stessa ridotta a scala, ricerca delle altre soluzioni dovrebbe essere piuttosto semplice, trovando i valori del rango, formulando le ipotesi per il valore di 'a' uguale a zero e diverso da zero. la dimImT sarà uguale al rango, la dimkerT si troverà con la formula (n-rg), la base in ImT mettendo a sistema i valori presenti nella matrice trasformata affiancati da (x,y,z,w) e infine per la base in ImT basta prendere una colonna di vettori lineramente indipendenti.
Premetto che sono negata con la geometria e mi sarebbe utile una spiegazione molto semplice, passo per passo, e ovviamente tutte le correzioni ai miei errori. Vi ringrazio anticipatamente.
[xdom="Martino"]Spostato in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]

[bugman]

Per trovare la matrice associata devi sempre sostituire nell'espressione dell'applicazione lineare una base per il dominio e poi scrivere l'immagine di questi vettori come combinazione lineare dei vettori della base del codominio.
Nel tuo caso la cosa è semplice perchè stai parlando di vettori numerici, così che la base del dominio e del codominio sono le stesse (ti dice niente l'espressione "base canonica" di $R^n$?)
Ora nel tuo caso il dominio è $R^4$ perciò avresti bisogno di 4 vettori linearmente indipendenti. Poichè conosciamo la base canonica puoi sostituire ad uno ad uno i vettori della base nell'applicazione e vedere quali sono le immagini. Ti scrivo solo cosa succede per il primo vettore della base, ovvero $(1,0,0,0)$
$T(1,0,0,0)=(3,1,4)$
In pratica nell'esempio fatto hai che il vettore $(x1,x2,x3,x4)=(1,0,0,0)$. Se ragioni così anche con gli altri vettori e trovi le loro immagini hai compleatato il primo passo. Il secondo sarebbe quello di scrivere le immagini dei vettori della base come combinazione lineari dei vettori del codominio. Ma in questo caso quello che otterresti sarebbero gli stessi vettori che hai già trovato prima, quindi diciamo che la fase due nel caso in cui ci troviamo in uno spazio $R^n$ (nel tuo caso R^3) si conclude subito.
La terza fase è quella di mettere per colonna in una matrice le immagini dei vettori trovati. Se hai fatto tutto bene deve venirti una matrice $3x4$. Questa matrice rappresenta la tua applicazione lineare.
Ora per trovare la forma canonica ridotta a scala della matrice fai una riduzione di Gauss portandola in una forma a scala.
Per trovare l'immagini devi ricordare che Im(T)=rango della matrice associata. (L'eliminazione di Gauss fatta prima ti aiuta molto perchè ti da già il risultato). Dovresti anche sapere che una base per l'immagine è data dalle colonne linearmente indipendenti nella matrice. Nel tuo caso possono essercene al massimo 3.
Per la dimensione del Ker devi ricordare che dimensione del dominio=dimensione del Ker + dimensione dell'immagine.
Per il Ker invece devi risolvere il sistema omogeneo $Ax=0$ dove con A ho indicato la matrice associata e $x$ è un vettore colonna del tipo $(x,y,z)$ (l'eliminazione di Gauss ancora una volta torna utile perchè semplifica il sistema).
In pratica risolto il sistema (che puo' avere anche infinite soluzioni) trovi una base del Ker.
Questo è uno schema generale che vale per tutte le applicazioni lineari tra spazi di $R^n$. Per altri spazi vettoriali l'unica differenza sta nella creazione della matrice associata che ha per colonne i pesi della combinazione lineare con cui i vettori dell'immagine della base si scrivono come combinazione lineare della base del codominio. Per il resto tutto rimane uguale

[lizzie.v]

grazie mille sei stato chiarissimo e mi hai aiutato molto mille grazie ancora