Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti,
ho provato a dimostrare (senza successo) direttamente che un intervallo aperto di una retta reale dotata di topologia standard è connesso.
L'impostazione adottata è la seguente:
Per assurdo ipotizzo che l'intervallo $(a,b) \in \R$ sia sconnesso (quindi esistono 2 aperti non vuoti che costituiscono partizione di $(a,b)$ )
Da qui vorrei trovare un assurdo, ma non ci riesco.
Intuitivamente l'idea sarebbe di dimostrare che esiste un punto $\in (a,b)$ ma non ...
$\{(ax + y = -a),(x - y = -1),(x -y = 3):}$
devo studiare questo sistema e , ho varie risposte e devo segnare quella vera
la 1 dice che : per a =0 e poss e determ :
$\{( y = 0),(x = -1),(x = 3):}$ , in questo caso è impossibile perchè la x risulta diversa ( falsa )
la 2 dice : per a= - 1 è poss e indeterm infinite^1 soluzioni :
$\{(-x + y = -1),(x - y = -1),(x -y = 3):}$
$\{(y =x -1),(x - x-1 = -1),(x -x-1 = 3):}$
quindi anche questa risulta falsa
le altre risposte sono :
sempre impossibile ,
$EE$a$in$ $RR$ tale che il sistema ha ...
ragazzi avrei dei dubbi sugli autovalori:
1)innanzitutto, per gli autovettori, come si dimostra che un endomorfismo T rispetto a una base di autovettori è rappresentato da una matrice diagonale?
2)è vero che una matrice è diagonalizzabile se, avendo dim n, ha n autovalori distinti in K? perché per la matrice $((2,2),(2,-2))$ ho trovato che ha come autovalori $2+-2sqrt(2)$ ma hanno molteplicità geometrica 0 quindi non è diagonalizzabile;
3)una matrice diagonale ha per pivots gli autovalori ...
Buongiorno a tutti, qualche giorno fa il Prof. in classe ha assegnato questo esercizio:
Sia (V,g) uno spazio euclideo e siano:
$G$ una matrice simmetrica invertibile,
$A$$in$R(n),
f$in$End(R(n)) definito da f($X$)=[$A$,$X$]=$A$$X$-$X$$A$,
g($X$,$Y$)= tr$X^t$$G$$Y$ un ...
Da quanto detto a lezione so che per determinare la scomposizione polare destra di una matrice $A$ occorre definire due matrici $L$ e $P$ tali che $A$=$L$$P$ con $L$>0 e $P$ antisimmetrica.
Prendo, ad esempio la matrice $A$ = $((1,-2),(2,-1))$ e voglio determinarne la scomposizione destra.
Determino $A^t$ = $((1,2),(-2,-1))$ e calcolo ...
$\{(2x + 2y + z = a - 1),(ax + 3y - (3a - 6)z = a),((a - 2)x + (a - 2)y + z = -1):}$
salve a tutti, chiedo aiuto, perchè mi sono trovato a risolvere questo sistema lineare. Praticamente ho calcolato il rango della matrice A (matrice incompleta) e il rango della matrice B (matrice completa), utilizzando il metodo degli orlati.
il rango di A mi risulta
$>=$ 2 $AA$ $in$ $RR$
ed eseguendo poi il determinante del minore di ordine 3, che poi è la matrice A stessa mi viene un equazione di 2°grado ...
ciao a tutti !!
mi chiedevo se potevate aiutarmi con queste 3 matrici che fra poco ho la prova e non son riuscito a farle
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1- dato l'endomorfismo T: R3 -> R3 definito da
T(1, 1, 0) = (2, 2, 0)
T(0, 1, 1) = (1, 2, 1)
T(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
la richiesta è:
- scrivi la matrice A che rappresenta T rispetto alla base B
B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
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2- Data la forma bilineare simmetrica su R3
= v1w1 + 2v2w2 + 3v3w3 - 4v2w3 - 4v3w2 + v2w1 + v1w2
e la base di R3:
B = ...
Ciao ragazzi,Ho un applicazione lineare $T:RR^4 to RR^2 $data da $T(x)=|(x_2+2x_3,),(-x_1+x_2-x_4,)|$
Devo trovare una base ortonormale di $V=KerT$ e una base ortornormale di $V \bot$
-Quindi pongo le due equazioni =0
-Mi scrivo la matrice
$A=|(0,1,2,0,),(-1,1,-1,0,)|$
-Riduco a scala(scambio la prima con la seconda riga) e noto che i pivot sono nelle prime due colonne quindi una base è
$B=|(0,),(-1,)|,|(1,),(1,)|$
Non è una base ortogonale
-Applico Gramschimdt e se non ho sbagliato i calcoli dovrebbe venire che ...
Sia data la matrice A (3-k -1 0)
(k 2 k)
(0 1 3-k)
a) determinare gli autovalori di A
b) stabilire per quali valori di k è diagonalizzabile. Vi ringrazio in anticipo!
salve a tutti mi è stato proposto questo esercizio alquanto,per me,strano!
viene chiesto di indicare una X$in$ $RR$ 2x2 tale che:
X $((a,b),(a,b))$ = $((a,b),(a,b))$ con a=$\pi$ e b=$sqrt(2)$
cosi di primo acchito avevo pensato che X fosse la matrice identica oppure si potesse ricavare facendo
X=$((a,b),(a,b))$ * ($((a,b),(a,b))$)^-1
ma non si può fare perchè la matrice ha det nullo e quindi non è invertibile!
avete qualche ...
Non ho capito alcune cose nelle dimostrazioni del teorema alla 5°-6° pagina di questo pdf sui criteri di diagonalizzabilità: http://www.matapp.unimib.it/~avitabile/cmd/diagon.pdf
Elencherò le varie cose che non ho capito nei vari punti:
- 1)$=>$ 2) perchè si mette "i" come pedice di "α" ? infatti la prof. scrive $α_(i1)v_(i1)+...+α_(is)v_(is)+....$
- 2)$=>$ 3) non capisco come faccia a dimostrare che $v_i=u_i$ per la prop.1
- 4)$=>$ 5) si può dimostrare anche così? :
so che V è somma diretta ...
Ciao a tutti,
avrei un esercizio da proporvi:
[size=150]Traccia:[/size]
Siano f : $RR^3$ ->$RR^3$^3 e g : $RR^3$ ->$RR^3$ le applicazioni lineari definite da :
$f(x,y,z) = (2z,-y-z,x+y+z)$
e
$g((1,0,0)) = (0,0,1)$
$g((1,1,0)) = (1,2,1)$
$g((1,1,1)) = (2,2,2)$
$(1)$ Verificare che l'applicazione $g$ e' univocamente definita;
$(2)$ Scrivere la matrice di $g$ rispetto alla base canonica;
$(3)$ Scrivere la ...
Buona sera. Ho un altro esercizio da proporvi.
Sia in $C^3$ l'operatore lineare definito dalla seguente rappresentazione matriciale:
$ (((\lambda+i)/2,0,(\lambda-i)/2),(0, i,0),((\lambda-i)/2,0,(\lambda+i)/2))$
Mi chiede di determinare per quali valori di $\lambda$ A sia hermitiano, unitario e normale. Risp. A non è hermitiana in quanto sulla diagonale non sono presenti elementi reali; è unitaria per $\lambda=+-1$. Per la normalità non so come procedere.
Calcolare per $\lambda=0$ autovalori, autovettori e corrispondenti ...
Salve a tutti,
sto studiando un po' di computer graphics e mi sono imbattuto nei termini "area differenziale" e "angolo solido differenziale". C'è qualche anima buona che mi riesce a spiegare a cosa si riferiscono? Il concetto di angolo solido l'ho capito. Grazie.
Salve a tutti, mi sono imbattuto ne seguente esercizio:
Data la base $S:={v1,v2,v3,v4}$ , dove:
$v1=|(1,1),(1,-1)|$; $v2=|(0,1),(1,0)|$; $v3=|(-1,1),(0,0)|$; $v4=|(-1,0),(0,0)|$;
Si determini il vettore delle componenti $vs$ nella base $S$: $v=|(2,3),(4,-7)|$
Il problema è il seguente,in altri esercizi i vettori venivano dati nella forma: $vn={v1,v2,...,vn}$ , ma in questo caso i vettori $v1, v2, v3, v4$ son in forma di matrice quadrata. Come procedo per la soluzione ...
Ho provato a cercare ma nn mi è stato soddisfacente
Cmq ho questa retta $r: \{(x=7-2z),(y=2):}$ e il punto $ P(0,0,-1)$ devo trovare il piano per $P$ e per $r$...potreste aiutarmi? Grazie
Sia L l'applicazione R^3->R^3 lineare su R definita come
L(x,y,z) = (x+y, x+z, 3x+y+2z)
Si determini la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica del dominio e alla base {(1 0 0), (1 1 0), (0 0 1)} del codominio.
E' semplice trovare la matrice rappresentativa dell'applicazione rispetto alla base canonica del dominio e codominio, che è:
----¦1 1 0¦
L = ¦1 0 1¦
----¦3 1 2¦
Ma come si fa' a calcolare L rispetto alla base canonica del dominio e alla base {(1 0 0), (1 1 ...
Giorno, seguendo l'esempio di alcuni esercizi già svolti provavo a fare questo: Sia $ B_1 $ una base ortonormale e sia $ B_2 = ( [+2,+1,+1]_(B_1) , [+1,-1,0]_(B_1), [+1,+1,+1]_(B_1) ) $ un'altra base ( non ortonormale ). Determinare la matrice del prodotto scalare rispetto a $ B_2 $ . Io seguendo passo per passo l'esercizio ho fatto così:
Sia $ B'= ( u_1,u_2,u_3) $ la base ortonormale che devo ottenere da $ B_2 $.
Costruisco una base $ B''= (w_1, w_2,w_3) $ di vettori a due a due ortogonali.
$ w_1=v_1=(2,1,1) $
...
Salve a tutti io sono un ragazzo che frequenta il primo anno di matematica a Milano e tra pochi giorni ho un'esame di algebra lineare.. e non ho ben capito alcune cose posso chiedere a voi un aiutino?
Questo è un'esercizio "guida" che vi fa capire un po' le mie difficoltà:
Nello spazio vettoriale V dei polinomi di grado minore o uguale a 3 a coefficienti in R, si considerino il sottospazio X generato dai polinomi:
p1 = x^3 + x^2 - 6x + 4
p2 = x^2 - 2x + 1
p3 = x^3 -3x^2 + 2x
e il sottospazio
Y ...
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