[HELP] Determinare cilindro
Salve a tutti..
vado subito al sodo..
l'esercizio che sto provando a svolgere è il seguente: devo determinare l'equazione del cilindro contenente la conica $\{(x^2 - xy + y^2 - 1 = 0),(z = 0):}$
e avente vertice in $V=(1,1,1,0)$
a questo punto prendo il generico punto $P$ appartenente alla conica: $P=(alpha,beta,0)$ e riscrivo l'equazione della conica: $alpha^2 - alpha beta + beta^2 - 1 = 0$
ora il testo mi suggerisce di scrivere la retta $PV$:
$\{(x = alpha + t),(y = beta + t),(z = t):}$ <-mi spiegate perchè ha scritto questo sistema così?? non riesco proprio a capirlo..credo che mi sfugge una tra le formule cardini ò.ò
(poi dovrei ricavarmi i valori di $alpha, beta$ e sostituendoli in $alpha^2 - alpha beta + beta^2 - 1 = 0$ ottengo l'equazione del cilindro no?)
Grazie anticipatamente
vado subito al sodo..
l'esercizio che sto provando a svolgere è il seguente: devo determinare l'equazione del cilindro contenente la conica $\{(x^2 - xy + y^2 - 1 = 0),(z = 0):}$
e avente vertice in $V=(1,1,1,0)$
a questo punto prendo il generico punto $P$ appartenente alla conica: $P=(alpha,beta,0)$ e riscrivo l'equazione della conica: $alpha^2 - alpha beta + beta^2 - 1 = 0$
ora il testo mi suggerisce di scrivere la retta $PV$:
$\{(x = alpha + t),(y = beta + t),(z = t):}$ <-mi spiegate perchè ha scritto questo sistema così?? non riesco proprio a capirlo..credo che mi sfugge una tra le formule cardini ò.ò
(poi dovrei ricavarmi i valori di $alpha, beta$ e sostituendoli in $alpha^2 - alpha beta + beta^2 - 1 = 0$ ottengo l'equazione del cilindro no?)
Grazie anticipatamente
Risposte
up helpl pls xD
"ska89":
ora il testo mi suggerisce di scrivere la retta $PV$:
$\{(x = alpha + t),(y = beta + t),(z = t):}$
c'è qualcuno che riesca a spiegarmi solo questo passaggio? grazie..
Come ti è stato già suggerito ,le generatici del cilindro sono le rette PV che congiungono il generico punto \(\displaystyle P(\alpha,\beta,0 )\) della conica col punto V.Ora si dà il caso che tale punto V sia improprio e rappresenti quindi una direzione.Della retta PV dunque tu conosci il punto P e la direzione (l,m,n)=(1,1,1).Applica dunque la formula solita della retta per un punto \(\displaystyle ( x_o,y_o,z_o) \) e di dati parametri direttori (l,m,n) che è:
\(\displaystyle \begin{cases} x=x_o+lt\\y=y_o+mt\\z=z_o+nt\end{cases}\)
ed ottieni appunto le equazioni:
\(\displaystyle \begin{cases} x=\alpha +t\\y=\beta+t\\z=0+t\end{cases}\)
Tirando fuori dal sistema \(\displaystyle \alpha \text{ e } \beta \) e sostituendo nell'equazione della conica avrai l'equazione del cilindro.
\(\displaystyle \begin{cases} x=x_o+lt\\y=y_o+mt\\z=z_o+nt\end{cases}\)
ed ottieni appunto le equazioni:
\(\displaystyle \begin{cases} x=\alpha +t\\y=\beta+t\\z=0+t\end{cases}\)
Tirando fuori dal sistema \(\displaystyle \alpha \text{ e } \beta \) e sostituendo nell'equazione della conica avrai l'equazione del cilindro.
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