Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, sto cercando di trovare una dimostrazione semplice dell'enunciato che non utilizzi concetti relativi alle applicazioni lineari, in modo da poterlo spiegare a studenti che nel programma del corso non studino tali argomenti.
Riporto l'enunciato completo per comodità:
Una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ è invertibile se e solo se $rk(A)=n$.
Per la dimostrazione della prima parte ho pensato:
"$rArr$" se ...
Dati due sottospazi di $RR^3$ definiti da $<(1,2,3),(0,2,-1)>$ e $<(2,2,7),(1,-2,5)>$ verificano:
[*:1r96rc6o] $X=Y$[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] nessuna delle altre[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] $YsubX$[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] dim $XnnY=1$[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] $XsubY$[/*:m:1r96rc6o][/list:u:1r96rc6o]
come si approccia alla soluzione?
Salve, qualcuno potrebbe "dimostrarmi" o per lo meno chiarirmi la seguente frase in cui mi sono imbattuto:
"Il gradiente di uno scalare è un vettore perpendicolare ad un ipotetico piano ove lo scalare è costante"
Ciao a tutti, devo risolvere questo esercizio:
Trovare un prodotto scalare definito positivo nello spazio $RR^3$ per cui la base B data dai vettori
$ {( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ): ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )} $
sia ortonormale.
Dunque, il prodotto scalare da cercare deve soddisfare due condizioni:
1) per $i!=j$ deve valere $<v_i,v_j> =0$
2) $AA i=1,...n$ si deve avere $||v_i ||=1$
Se considero S la matrice rappresentativa del prodotto scalare e B la matrice dei vettori base, allora la prima ...
Mi potreste dare una definizione di sottospazio generato da un insieme di vettori?
Da internet non sono riuscito a capire molto bene.
provando a fare il cambiamento di base dell'esercizio proposto non riesco a capire come possa essere la soluzione $C$,
se provo a scrivere:
$(1,0,0)=\alpha(1,-1,0)+\beta(1,1,2)+\gamma(1,1,-1)$
ottengo valori diversi : $\alpha=1/2, \beta=1/6, \gamma=1/3$ che si discostano dalla soluzione trovata, dove sbaglio?
Cioè coincidono? Chiedo perchè in alcuni problemi per sapere se un vettore appartiene ad un piano nello spazio R^3 bisogna sostituire le coordinate del vettore nell'equazione del piano e vedere se la soddisfano. Ma questo si fa anche con le coordinate di un punto per verificarne l'appartenenza al piano !
Ma allora le componenti del vettore sono le coordinate del punto situato alla sua estremità? Io sapevo che ciò è vero solo per i vettori applicati all'origine del riferimento cartesiano, ma non ...
Buonasera a tutti
Sto trovando qualche difficoltà nella dimostrazione della proposizione 2.4 del libro sovracitato di K. Tapp. Allego il problema nella foto. Dovrei dimostrare che l'applicazione composta è C-linerare per ogni n( per farlo basta provare che F(iX)=iF(X) ) Ho pensato di procere per induzione. Già nel caso n = 1 però incontro delle difficoltà...per meglio dire non verifico affatto l'uguaglianza. Allego i miei calcoli.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire se ci sono errori o ...
Sono di nuovo io, scusate!
Ho una dimostrazione data dalla prof che non riesco a capire. Ho cercato su internet, ma non mi è ancora del tutto chiaro.
Ho questo Teorema:
Sia V K-spazio vettoriale e sia f :V⇒V (endomorfismo).
f è diagonalizzabile se e solo se:
1)Pf(x) ha tutte le radici in K.
2) Per ogni radice λ di pf(x) (cioè per ogni autovalore) si ha:
DimVλ=m(λ).
Dimostrazione:
⇒) f diagonalizzabile ⇒ ∃ B={v(1),…,v(r)}, v(1),…,v(r) ...
Buongiorno,
avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Dati $V = {(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0}$ e $W = span{((1),(2),(3))}$
a) Trovare un'applicazione lineare $f:RR^3 -> RR^3$ t.c. $f(v) in W, AA v in V$ e $f(w) in V, AA w in W$
b) Dimostrare che l’insieme di tutte le applicazioni lineari $f:RR^3 -> RR^3$ che soddisfano le condizioni del punto precedente e uno spazio vettoriale, quindi determinarne la dimensione.
Dopo aver scritto $V = span{((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1))}$ ho pensato di porre semplicemente $f((-1),(1),(0)) = ((0),(0),(0))$ da qui ottengo ...
Salve potete aiutarmi con questo esercizio?
In uno spazio euclideo tridimensionale, determinare una rappresentazione parametrica del fascio di piani individuato dai punti A(0,1,1) e B(1,-1,2).
Ho provato a calcolare la direzione della retta passante per i due punti, per poi calcolarmi la retta e così il fascio di retta mi trovo che è:
F: K(2x+y-1)+h(z-2)=0
Salve, sto avendo qualche problema con esercizi d'esame su prodotti scalari. Cercando su libri e online trovo solo metodi risolutivi quando già posseggo la funzione del prodotto scalare, mentre nel mio caso sono stati assegnati esercizi dove esso non viene dato esplicitamente.
Es:
Data la matrice \[A_{k} = \begin{bmatrix} 2k & 0 & 1-k \\ 0 & k & 0 \\ 1-k & 0 & 2k \end{bmatrix} k \in R^{3}\]
determinare i valori del parametro k per i quali la matrice individua un prodotto scalare. Nel caso ...
Mi chiedevo se esistesse una dimostrazione al fatto che in R il numero di radici sia ≤ del grado del polinomio.
So che, ad esempio, x^2+1=0 non ha soluzioni reali. E quindi tutti i casi analoghi.
Ma questo concetto come si può formalizzare?
Con qualche assioma?
Ho la matrice A = $(((sqrt2)/2,1/2),(c,d))$ devo trovare i valori $c$ e $d$ tale che la matrice A sia ortogonale, io ho provato a fare cosi $A^tA=In$ dove $In$ è la matrice identità. Tuttavia ho provato anche a fare $A(A^t)=In$, ma mi vengono valori di $c$ e $d$ nel primo caso diversi dal secondo.
Ho anche la matrice B= $(((-sqrt3)/2,a),(1/2,b))$, provo lo stesso metodo ma sono sempre risultati strani....
$A^t$ è la ...
Buon pomeriggio.
Ho un dubbio. A lezione mi è stato dato (senza dimostrazione) questo teorema:
Sia $mathbb{G}$ gruppo topologico, $H$ sottogruppo di $mathbb{G}$. Se $H$ è aperto, allora $H$ è anche chiuso.
Questo vuol dire che un gruppo topologico non è mai connesso?
Salve a tutti
Non ho ancora gli strumenti matematici per poter affrontare gli integrali ellittici completi di seconda specie e chiedevo a voi di soddisfare questa piccola curiosità. E' possibile, come per la circonferenza, calcolare il perimetro dell'ellisse partendo da poligoni iscritti ad esso?
Ad esempio siano $F_1$ e $F_2$ i fuochi di una ellisse e $A_1$,$A_2$ i suoi vertici sull'asse maggiore (il primo a destra e il secondo a sinistro ...
Ciao ragazzi, vorrei chiedervi un vostro aiuto per dei dubbi che mi son venuti :
Il testo di un esercizio mi dice :
Nel piano euclideo reale $E2$, dati il punto $A = (3, −1)$, il vettore $u =(1, −2)$ e la retta $r : 2x − 5y = 1$ calcolare :
($1$# domanda ricordo bene che nell' $E3$ la retta è identificata da due equazioni. Nell' $E2$ ne abbiamo solo una ?)
-equazioni parametriche e cartesiana della retta ...
Salve a tutti, ho delle difficoltà a comprendere la frase sottolineata
Nel testo con \(n\) si intende la dimensione del vettore \(X\), quindi \(\Sigma_X\in\mathbb{R}^{n\times n}\).
La relazione di ortogonalità tra \(X-m_X\) e gli autovettori relativi agli \(n-r\) autovalori nulli credo di averla capita: basta osservare che la relazione \((1.14)\) consiste in \(n-r\) prodotti scalari tra \(X-m_X\) e gli autovettori in questione.
Non capisco il nesso tra la \((1.14)\) e lo spazio nullo di ...
Buonasera a tutti, ho qualche dubbio sugli omomorfisimi e su come svolgere i relativi esercizi. Penso di aver ormai capito a pieno come svolgere quasi tutti i problemi, ma allo scorso appello l'ultima domanda era: determinare se esiste un omomorfismo tra gruppi, e i gruppi erano 1: una matrice quadrata 2: un'equazione lineare. Non avevo nessuna applicazione data, come si può risolvere un esercizio simile? Grazie in anticipo!
Da buon studente di ingegneria non so una mazza di tensori e me la cavo pure male in algebra lineare, però, data la definizione di prodotto tensoriale:
$v \otimes v = $ \begin{pmatrix} v_xv_x & v_xv_y & v_xv_z \\ v_yv_x & v_yv_y & v_yv_z \\ v_zv_x & v_zv_y & v_zv_z \end{pmatrix}
avrei bisogno di poter scrivere con una formulazione alternativa
$\nabla * ((\rho v) \otimes v) $
che dovrebbe venire
\begin{pmatrix} \partial(\rho v_xv_x)/(\partial x) + \partial(\rho v_xv_y)/(\partial y) + ...
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