Proposizione 2.4 Matrix Groups for Undergratuates (Tapp)
Buonasera a tutti
Sto trovando qualche difficoltà nella dimostrazione della proposizione 2.4 del libro sovracitato di K. Tapp. Allego il problema nella foto. Dovrei dimostrare che l'applicazione composta è C-linerare per ogni n( per farlo basta provare che F(iX)=iF(X) ) Ho pensato di procere per induzione. Già nel caso n = 1 però incontro delle difficoltà...per meglio dire non verifico affatto l'uguaglianza. Allego i miei calcoli.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire se ci sono errori o potrebbe suggerire un altro approccio dimostrativo?
Grazie mille a tutti.
Ecco la proposizione:
Ecco le leggi delle funzioni e il mio approccio al caso n=1
Sto trovando qualche difficoltà nella dimostrazione della proposizione 2.4 del libro sovracitato di K. Tapp. Allego il problema nella foto. Dovrei dimostrare che l'applicazione composta è C-linerare per ogni n( per farlo basta provare che F(iX)=iF(X) ) Ho pensato di procere per induzione. Già nel caso n = 1 però incontro delle difficoltà...per meglio dire non verifico affatto l'uguaglianza. Allego i miei calcoli.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire se ci sono errori o potrebbe suggerire un altro approccio dimostrativo?
Grazie mille a tutti.
Ecco la proposizione:
Ecco le leggi delle funzioni e il mio approccio al caso n=1
Risposte
Io farei così:
PREPARATIVI:
Sia $g\in GL(\mathbb{R}^{2n})$ tale che $g: (a_1,b_1,...,a_n,b_n) \mapsto (a_1,...,a_n,b1,...,b_n)$.
A questo punto potrò chiamare, dato $X \in \mathbb{C}^n$, $X_{\mathbb{Re}}:= (a_1,...a_n) \in \mathbb{R}^n$ e $X_{\mathbb{Im}}:= (b_1,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$.
A questo punto sai che $g \circ f_n: X \mapsto (X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}})$.
A questo punto posso coniugare quella che tu chiami $R_B\in End(\mathbb{R}^{2n})$ per $g$.
Così $f_n^{-1}\circ R_B \circ f_n =(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})\circ (g \circ f_n)$
Ora saremo d'accordo che considerare questa $g$ o non considerarla non cambia niente. Però io la considero!
Ultima piccola considerazione sull'applicazione $g\circ R_B \circ g^{-1}$.
$g^{-1}$ è un cambio di base, per cui, posso dire $g\circ R_B\circg^{-1}=R_{B'}$ dove di $B'$ non ci importa nulla, tanto è simile a $B$.
DIMOSTRAZIONE(?)
$f_n^{-1}\circ R_B \circ f_n (X)=(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})\circ (g \circ f_n)(X) =(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})((X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}}))=(f_n^{-1}\circ g^{-1})\circ R_{B'} ((X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}}))$.
Se scrivo la matrice $B'$ in quattro blocchi di dimensione $n$x$n$ e faccio i conti a blocchi ottengo
$(f_n^{-1}\circ g^{-1}) ((B_1^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_2^{\prime}X_{\mathbb{Im}}|B_3^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_4^{\prime}X_{\mathbb{Im}}))=(B_1^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_2^{\prime}X_{\mathbb{Im}}) +i(B_3^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_4^{\prime}X_{\mathbb{Im}})$.
A questo punto hai tutti gli strumenti per poter osservare che se l'applicazione trovata è o meno $\mathbb{C}$-lineare dipende solo da chi era all'inizio $B$. Alcune $R_B$ saranno $\mathbb{C}$-lineari ed altre no...
Se provi a calcolare:
$iF_{B'}(X)=-(B_3^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_4^{\prime}X_{\mathbb{Im}}) +i(B_1^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_2^{\prime}X_{\mathbb{Im}})$
Mentre:
$F_{B'}(iX)=(B_2^{\prime}X_{\mathbb{Re}}-B_1^{\prime}X_{\mathbb{Im}}) +i(B_4^{\prime}X_{\mathbb{Re}}-B_3^{\prime}X_{\mathbb{Im}})$.
Il tuo teorema afferma solo che $F_B$ è $\mathbb{C}$-lineare se e solo se $B$ è tale che $F_B(iX)=iF_B(X), \forall X\in \mathbb{C}^n$, a mio avviso.
Comunque se ho detto fesserie corregge temi per favore.
PREPARATIVI:
Sia $g\in GL(\mathbb{R}^{2n})$ tale che $g: (a_1,b_1,...,a_n,b_n) \mapsto (a_1,...,a_n,b1,...,b_n)$.
A questo punto potrò chiamare, dato $X \in \mathbb{C}^n$, $X_{\mathbb{Re}}:= (a_1,...a_n) \in \mathbb{R}^n$ e $X_{\mathbb{Im}}:= (b_1,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$.
A questo punto sai che $g \circ f_n: X \mapsto (X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}})$.
A questo punto posso coniugare quella che tu chiami $R_B\in End(\mathbb{R}^{2n})$ per $g$.
Così $f_n^{-1}\circ R_B \circ f_n =(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})\circ (g \circ f_n)$
Ora saremo d'accordo che considerare questa $g$ o non considerarla non cambia niente. Però io la considero!
Ultima piccola considerazione sull'applicazione $g\circ R_B \circ g^{-1}$.
$g^{-1}$ è un cambio di base, per cui, posso dire $g\circ R_B\circg^{-1}=R_{B'}$ dove di $B'$ non ci importa nulla, tanto è simile a $B$.
DIMOSTRAZIONE(?)
$f_n^{-1}\circ R_B \circ f_n (X)=(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})\circ (g \circ f_n)(X) =(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})((X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}}))=(f_n^{-1}\circ g^{-1})\circ R_{B'} ((X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}}))$.
Se scrivo la matrice $B'$ in quattro blocchi di dimensione $n$x$n$ e faccio i conti a blocchi ottengo
$(f_n^{-1}\circ g^{-1}) ((B_1^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_2^{\prime}X_{\mathbb{Im}}|B_3^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_4^{\prime}X_{\mathbb{Im}}))=(B_1^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_2^{\prime}X_{\mathbb{Im}}) +i(B_3^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_4^{\prime}X_{\mathbb{Im}})$.
A questo punto hai tutti gli strumenti per poter osservare che se l'applicazione trovata è o meno $\mathbb{C}$-lineare dipende solo da chi era all'inizio $B$. Alcune $R_B$ saranno $\mathbb{C}$-lineari ed altre no...
Se provi a calcolare:
$iF_{B'}(X)=-(B_3^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_4^{\prime}X_{\mathbb{Im}}) +i(B_1^{\prime}X_{\mathbb{Re}}+B_2^{\prime}X_{\mathbb{Im}})$
Mentre:
$F_{B'}(iX)=(B_2^{\prime}X_{\mathbb{Re}}-B_1^{\prime}X_{\mathbb{Im}}) +i(B_4^{\prime}X_{\mathbb{Re}}-B_3^{\prime}X_{\mathbb{Im}})$.
Il tuo teorema afferma solo che $F_B$ è $\mathbb{C}$-lineare se e solo se $B$ è tale che $F_B(iX)=iF_B(X), \forall X\in \mathbb{C}^n$, a mio avviso.
Comunque se ho detto fesserie corregge temi per favore.
Ciao...grazie innanzitutto per la tua risposta.
Sei stato gentilissimo. La tua dimostrazione è molto chiara, lineare e precisa.
Mi hai fatto capire immediatamente l'errore che commetevo,anche se volessi usare l'induzione : la scelta della matrice B.
Per dimostrare la C-linearità della applicazione non dovevo prendere una matrice B qualsiasi ma una matrice complessa lineare, ovvero una matrice che è immagine di $\rho_n$ : $M_n$ ($CC$) $rarr$ $M_2n$ ($RR$) ,una applicazione
che ad $A_ij$ associa $((a_ij,b_ij),(-b_ij,a_ij))$ con $A_ij$ =( $a_ij$ + i $b_ij$)
Nel caso n=1, quindi avrei dovuto prendere una matrice del tipo B= $((a,b),(-b,a))$.
Grazie ancora, buona serata.
Sei stato gentilissimo. La tua dimostrazione è molto chiara, lineare e precisa.
Mi hai fatto capire immediatamente l'errore che commetevo,anche se volessi usare l'induzione : la scelta della matrice B.
Per dimostrare la C-linearità della applicazione non dovevo prendere una matrice B qualsiasi ma una matrice complessa lineare, ovvero una matrice che è immagine di $\rho_n$ : $M_n$ ($CC$) $rarr$ $M_2n$ ($RR$) ,una applicazione
che ad $A_ij$ associa $((a_ij,b_ij),(-b_ij,a_ij))$ con $A_ij$ =( $a_ij$ + i $b_ij$)
Nel caso n=1, quindi avrei dovuto prendere una matrice del tipo B= $((a,b),(-b,a))$.
Grazie ancora, buona serata.
Nel caso di $n>1$ ti consiglio di provare con il mio metodo prendendo una matrice del tipo $$\begin{pmatrix}A & B \\ -B & A\end{pmatrix}$$
Con le stesse caratteristiche della 2x2 che hai scritto tu.
Con le stesse caratteristiche della 2x2 che hai scritto tu.
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