Il perimetro dell'ellisse
Salve a tutti
Non ho ancora gli strumenti matematici per poter affrontare gli integrali ellittici completi di seconda specie e chiedevo a voi di soddisfare questa piccola curiosità. E' possibile, come per la circonferenza, calcolare il perimetro dell'ellisse partendo da poligoni iscritti ad esso?
Ad esempio siano $F_1$ e $F_2$ i fuochi di una ellisse e $A_1$,$A_2$ i suoi vertici sull'asse maggiore (il primo a destra e il secondo a sinistro rispetto l'asse minore) e $B_1$ e $B_2$ sull'asse minore (il primo sopra e il secondo sotto l'asse maggiore). Se congiungo tutti i vertici ottengo un rombo. Prendendo poi il lato $A_1B_1$ e consideriamo il punto medio $C_1$. Da questo punto traccio la perpendicolare a tale lato e chiamo $V_1$ la sua intersezione con l'ellisse. Se faccio la stessa operazione sugli altri lati e congiungendo tutti i vertici $V_1$,$V_2$,$V_3$ e $V_4$ con i vertici del rombo inizialeottengo un ottagono equilatero. Se poi itero il ragionamento sui lati degli ottagoni otterrò un esadecagono equilatero e così via.
Ho provato in tutti i modi ma non sono riuscito a legare il lato del rombo con quello dell'ottagono (qualcosa mi dice che il lato dell'esadecagono è relazionato all'ottagono in modo simile).
Avete qualche idea? Secondo voi sono costruzioni che porteranno a qualcosa?
Non ho ancora gli strumenti matematici per poter affrontare gli integrali ellittici completi di seconda specie e chiedevo a voi di soddisfare questa piccola curiosità. E' possibile, come per la circonferenza, calcolare il perimetro dell'ellisse partendo da poligoni iscritti ad esso?
Ad esempio siano $F_1$ e $F_2$ i fuochi di una ellisse e $A_1$,$A_2$ i suoi vertici sull'asse maggiore (il primo a destra e il secondo a sinistro rispetto l'asse minore) e $B_1$ e $B_2$ sull'asse minore (il primo sopra e il secondo sotto l'asse maggiore). Se congiungo tutti i vertici ottengo un rombo. Prendendo poi il lato $A_1B_1$ e consideriamo il punto medio $C_1$. Da questo punto traccio la perpendicolare a tale lato e chiamo $V_1$ la sua intersezione con l'ellisse. Se faccio la stessa operazione sugli altri lati e congiungendo tutti i vertici $V_1$,$V_2$,$V_3$ e $V_4$ con i vertici del rombo inizialeottengo un ottagono equilatero. Se poi itero il ragionamento sui lati degli ottagoni otterrò un esadecagono equilatero e così via.
Ho provato in tutti i modi ma non sono riuscito a legare il lato del rombo con quello dell'ottagono (qualcosa mi dice che il lato dell'esadecagono è relazionato all'ottagono in modo simile).
Avete qualche idea? Secondo voi sono costruzioni che porteranno a qualcosa?
Risposte
Secondo me potresti provare a fare una cosa. Magari se ho un po' di tempo ci provo io stesso.
Potresti prendere un'ellisse vera centrata nell'origine degli assi e con gli assi coincidenti con gli assi cartesiani. Lì calcolati la lunghezza dell'arco di ellisse compreso nel primo quadrante.
Potresti provare a vedere il rapporto fra questo e la lunghezza della circonferenza unitaria nel quadrante positivo.
Questo rapporto dipende solo (controlla che non ti abbia detto fesserie) da come l'affinità (quella che porta la circonferenza unitaria nell'ellisse) agisce sui raggi paralleli agli assi cartesiani della circonferenza.
In particolare osservi che gli autovalori della parte lineare dell'affinità sono proprio le lunghezze dei semiassi dell'ellisse. Per cui avresti così ricavato il fattore di scala di cui cambia il perimetro della circonferenza in funzione delle lunghezze dei semiassi dell'ellisse.
Se tutto ciò è vero, da ora in poi hai una formula per calcolare il perimetro dell'ellisse che usa solo le lunghezze dei semiassi.
Per quanto riguarda il discorso dei poligoni ci voglio pensare meglio, ma ti dico subito che le affinità conservano molte proprietà geometriche fra cui: intersezioni, appartenenze, punti medi e baricentri.
Proverei a usare questo per cercare di fare discorsi sulla circonferenza unitaria che possano valere a meno di affinità.
Potresti prendere un'ellisse vera centrata nell'origine degli assi e con gli assi coincidenti con gli assi cartesiani. Lì calcolati la lunghezza dell'arco di ellisse compreso nel primo quadrante.
Potresti provare a vedere il rapporto fra questo e la lunghezza della circonferenza unitaria nel quadrante positivo.
Questo rapporto dipende solo (controlla che non ti abbia detto fesserie) da come l'affinità (quella che porta la circonferenza unitaria nell'ellisse) agisce sui raggi paralleli agli assi cartesiani della circonferenza.
In particolare osservi che gli autovalori della parte lineare dell'affinità sono proprio le lunghezze dei semiassi dell'ellisse. Per cui avresti così ricavato il fattore di scala di cui cambia il perimetro della circonferenza in funzione delle lunghezze dei semiassi dell'ellisse.
Se tutto ciò è vero, da ora in poi hai una formula per calcolare il perimetro dell'ellisse che usa solo le lunghezze dei semiassi.
Per quanto riguarda il discorso dei poligoni ci voglio pensare meglio, ma ti dico subito che le affinità conservano molte proprietà geometriche fra cui: intersezioni, appartenenze, punti medi e baricentri.
Proverei a usare questo per cercare di fare discorsi sulla circonferenza unitaria che possano valere a meno di affinità.
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