Nucleo di una matrice simmetrica degenere
Salve a tutti, ho delle difficoltà a comprendere la frase sottolineata
[img]https://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?mode=view&id=2211&sid=47a63f4c01afdd2e2a8f8c02f1f842dc[/img]
Nel testo con \(n\) si intende la dimensione del vettore \(X\), quindi \(\Sigma_X\in\mathbb{R}^{n\times n}\).
La relazione di ortogonalità tra \(X-m_X\) e gli autovettori relativi agli \(n-r\) autovalori nulli credo di averla capita: basta osservare che la relazione \((1.14)\) consiste in \(n-r\) prodotti scalari tra \(X-m_X\) e gli autovettori in questione.
Non capisco il nesso tra la \((1.14)\) e lo spazio nullo di \(\Sigma_X\). Mi pare di capire dal testo che
\[\{X\in\mathbb{R}^{n}:{V_2}^\text{T}(X-m_X)=0\}={\text{ker}(\Sigma_X)}^{\perp} \qquad(2)\]
non riesco a trovare una giustificazione (o una confutazione) dell'uguaglianza \((2)\).
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Nel testo con \(n\) si intende la dimensione del vettore \(X\), quindi \(\Sigma_X\in\mathbb{R}^{n\times n}\).
La relazione di ortogonalità tra \(X-m_X\) e gli autovettori relativi agli \(n-r\) autovalori nulli credo di averla capita: basta osservare che la relazione \((1.14)\) consiste in \(n-r\) prodotti scalari tra \(X-m_X\) e gli autovettori in questione.
Non capisco il nesso tra la \((1.14)\) e lo spazio nullo di \(\Sigma_X\). Mi pare di capire dal testo che
\[\{X\in\mathbb{R}^{n}:{V_2}^\text{T}(X-m_X)=0\}={\text{ker}(\Sigma_X)}^{\perp} \qquad(2)\]
non riesco a trovare una giustificazione (o una confutazione) dell'uguaglianza \((2)\).
Risposte
Ok credo di aver risolto. Di fatto si tratta di dimostrare che l'insieme degli autovettori associati agli autovalori nulli costituiscono una base dello spazio nullo di \(\Sigma_X\).
Siano quindi \(\{v_i\}_{i=r}^n\) tali autovettori. Dalla definizione di coppia autovettore-autovalore, per \(i=r,\dots,n\) si ha che
\[\begin{aligned}\Sigma_X v_i &=\lambda_i v_i \\
&=0 v_i \\
&=0\end{aligned}\]
ossia \(\{v_i\}_{i=r}^n \subset \text{ker}(\Sigma_X)\). L'ortogonalità di \(\Sigma_X\) garantisce la lineare indipendenza degli autovettori in questione. Inoltre, per il teorema del rango, si ha che
\[\begin{aligned}\text{dim } \text{ker}(\Sigma_X)&=n-\text{rank}(\Sigma_X)\\
&=n-r \end{aligned}\]
quindi \(\text{span}\{v_i\}_{i=r}^n=\text{ker}(\Sigma_X)\), dimostrando quanto asserito.
Siano quindi \(\{v_i\}_{i=r}^n\) tali autovettori. Dalla definizione di coppia autovettore-autovalore, per \(i=r,\dots,n\) si ha che
\[\begin{aligned}\Sigma_X v_i &=\lambda_i v_i \\
&=0 v_i \\
&=0\end{aligned}\]
ossia \(\{v_i\}_{i=r}^n \subset \text{ker}(\Sigma_X)\). L'ortogonalità di \(\Sigma_X\) garantisce la lineare indipendenza degli autovettori in questione. Inoltre, per il teorema del rango, si ha che
\[\begin{aligned}\text{dim } \text{ker}(\Sigma_X)&=n-\text{rank}(\Sigma_X)\\
&=n-r \end{aligned}\]
quindi \(\text{span}\{v_i\}_{i=r}^n=\text{ker}(\Sigma_X)\), dimostrando quanto asserito.
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