Molteplicità algebrica e geometrica.
Sono di nuovo io, scusate!
Ho una dimostrazione data dalla prof che non riesco a capire. Ho cercato su internet, ma non mi è ancora del tutto chiaro.
Ho questo Teorema:
Sia V K-spazio vettoriale e sia f :V⇒V (endomorfismo).
f è diagonalizzabile se e solo se:
1)Pf(x) ha tutte le radici in K.
2) Per ogni radice λ di pf(x) (cioè per ogni autovalore) si ha:
DimVλ=m(λ).
Dimostrazione:
⇒) f diagonalizzabile ⇒ ∃ B={v(1),…,v(r)}, v(1),…,v(r) autovettori.
Sia A=Mbb(f) la matrice associata agli autovalori di f ( non riesco a scriverla con laTeX)
Sia Pf(x) il polinomio associato avente radici:
(x-λ(1))m1(x-λ(2))m2…(x-λ(r))m(r)
⇒ le radici di pf(x) sono λ(1),…,λ(r) quindi sono tutte in K. Per l’osservazione “2” ho che Dim Vλ(i)≤m(i) ∀ i, ma ho m(i) autovettori nella base B con autovalore λ(i) ⇒ ho m(i) autovettori linearmente indipendenti in Vλ(i) ⇒ DimVλ(i)≥m(i) quindi: DimVλ(i)=m(i).
Non mi è chiara la parte in grassetto! Da cosa lo deduce?
E' uno dei miei primi post, quindi non so ancora scrivere il testo in modo ottimale. Se ci fossero problemi provvederò a correggerlo!
Ho una dimostrazione data dalla prof che non riesco a capire. Ho cercato su internet, ma non mi è ancora del tutto chiaro.
Ho questo Teorema:
Sia V K-spazio vettoriale e sia f :V⇒V (endomorfismo).
f è diagonalizzabile se e solo se:
1)Pf(x) ha tutte le radici in K.
2) Per ogni radice λ di pf(x) (cioè per ogni autovalore) si ha:
DimVλ=m(λ).
Dimostrazione:
⇒) f diagonalizzabile ⇒ ∃ B={v(1),…,v(r)}, v(1),…,v(r) autovettori.
Sia A=Mbb(f) la matrice associata agli autovalori di f ( non riesco a scriverla con laTeX)
Sia Pf(x) il polinomio associato avente radici:
(x-λ(1))m1(x-λ(2))m2…(x-λ(r))m(r)
⇒ le radici di pf(x) sono λ(1),…,λ(r) quindi sono tutte in K. Per l’osservazione “2” ho che Dim Vλ(i)≤m(i) ∀ i, ma ho m(i) autovettori nella base B con autovalore λ(i) ⇒ ho m(i) autovettori linearmente indipendenti in Vλ(i) ⇒ DimVλ(i)≥m(i) quindi: DimVλ(i)=m(i).
Non mi è chiara la parte in grassetto! Da cosa lo deduce?
E' uno dei miei primi post, quindi non so ancora scrivere il testo in modo ottimale. Se ci fossero problemi provvederò a correggerlo!
Risposte
Dice semplicemente che $mg(lambda)=ag(lambda)$
In parole povere hai $lambda_1,...,lambda_k$ autovalori.
Poiché il polinomio è di grado $n$ avrai che...
1) $n=ma(lambda_1)+...+ma(lambda_k)=mg(lambda_1)+...+mg(lambda_k)$
E questa è una.
2) Poi sai che $mg(lambda_j)=dim Ker(f-lambda_j id), forallj=1,..,k$
E questa è un'altra.
Poi sai che autovettori relativi ad autovalori diversi sono linearmente indipendenti, quindi tu sai semplicemente dalla 1) che hai $n$ autovettori linearmente indipendenti, che tali vettori formano una base dello spazio e che gli autospazi sono in somma diretta.
Ovvero $V=V_(lambda_1)oplus...oplusV_(lambda_k)$
Quindi $f$ è diagonalizzabile perché esiste una base di autovettori
In parole povere hai $lambda_1,...,lambda_k$ autovalori.
Poiché il polinomio è di grado $n$ avrai che...
1) $n=ma(lambda_1)+...+ma(lambda_k)=mg(lambda_1)+...+mg(lambda_k)$
E questa è una.
2) Poi sai che $mg(lambda_j)=dim Ker(f-lambda_j id), forallj=1,..,k$
E questa è un'altra.
Poi sai che autovettori relativi ad autovalori diversi sono linearmente indipendenti, quindi tu sai semplicemente dalla 1) che hai $n$ autovettori linearmente indipendenti, che tali vettori formano una base dello spazio e che gli autospazi sono in somma diretta.
Ovvero $V=V_(lambda_1)oplus...oplusV_(lambda_k)$
Quindi $f$ è diagonalizzabile perché esiste una base di autovettori
Quindi quel ≥ che tanto mi turba significa che, se ho una matrice 3x3 e non ho ancora calcolato il polinomio caratteristico, la dimensione dell'autospazio può essere ≤ 3. (Quindi ≥ di m(i) )
Una volta trovate le radici e verificato che la molteplicità algebrica e geometrica coincidano la dimensione dell'autospazio può avere al massimo 3-(rango della matrice con quel determinato autovalore) come dimensione.
Quindi ≤ m(i) etc.
Però, se non ho sbagliato, l'ordine delle conseguenze è al contrario, non capisco perchè, se fosse corretta la mia interpretazione, il maggiore viene dopo il minore.
Mentre se non coincidessero e la molteplicità geometrica fosse minore di quella algebrica ( non può essere maggiore? ) , allora l'endomorfismo non sarebbe diagonalizzabile. E non essendo diagonalizzabile ... ?
Ho difficoltà a immaginarmi i concetti senza vederli applicati, è un mio grosso limite, spero di non aver fatto domande troppo banali.
Una volta trovate le radici e verificato che la molteplicità algebrica e geometrica coincidano la dimensione dell'autospazio può avere al massimo 3-(rango della matrice con quel determinato autovalore) come dimensione.
Quindi ≤ m(i) etc.
Però, se non ho sbagliato, l'ordine delle conseguenze è al contrario, non capisco perchè, se fosse corretta la mia interpretazione, il maggiore viene dopo il minore.
Mentre se non coincidessero e la molteplicità geometrica fosse minore di quella algebrica ( non può essere maggiore? ) , allora l'endomorfismo non sarebbe diagonalizzabile. E non essendo diagonalizzabile ... ?
Ho difficoltà a immaginarmi i concetti senza vederli applicati, è un mio grosso limite, spero di non aver fatto domande troppo banali.
Io l'ho capito così:
Ho $m_i$ autovettori L.I. in $V_{\lambda_i}$. Allora la dimensione di $V_{\lambda_i}$ è almeno $m_i$ perché non è detto che non ci siano altri autovettori in $V_{\lambda_i}$.
Quindi $dim(V_{\lambda_i})\geq m_i$
Ho $m_i$ autovettori L.I. in $V_{\lambda_i}$. Allora la dimensione di $V_{\lambda_i}$ è almeno $m_i$ perché non è detto che non ci siano altri autovettori in $V_{\lambda_i}$.
Quindi $dim(V_{\lambda_i})\geq m_i$
DimVλ(i) è la somma degli autospazi, quindi ok, se avessi 3 autovalori con rispettivi autospazi, la somma di quest'ultimi sarà maggiore del singolo.
Se ho autovalore 2 con molteplicità 2, ed autovalore 1 con molteplicità 1, la somma degli autospazi sarà massimo 3, per questo ≥ alle molteplicità. Però la disuguaglianza non vale per la somma delle molteplicità, sta considerando solo un valore di λ?
Sennò un autospazio può avere più vettori? Non mi è mai capitato come caso negli esercizi e non so come sia possibile, al massimo nè ho trovati sempre meno!
Se ho autovalore 2 con molteplicità 2, ed autovalore 1 con molteplicità 1, la somma degli autospazi sarà massimo 3, per questo ≥ alle molteplicità. Però la disuguaglianza non vale per la somma delle molteplicità, sta considerando solo un valore di λ?
Sennò un autospazio può avere più vettori? Non mi è mai capitato come caso negli esercizi e non so come sia possibile, al massimo nè ho trovati sempre meno!
$dim(V_{\lambda_i})$ è la dimensione dell'autospazio relativo a $\lambda_i$, che contiene gli autovettori associati a $\lambda_i$ che sono linearmente indipendenti
Ma proprio non capisco come può essere maggiore. Come il n degli autovettori possa essere maggiore della molteplicità. C'è un passaggio che può dimostrarlo? 
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