Prodotto Tensoriale?

[dRic]

Da buon studente di ingegneria non so una mazza di tensori e me la cavo pure male in algebra lineare, però, data la definizione di prodotto tensoriale:

$v \otimes v = $ \begin{pmatrix} v_xv_x & v_xv_y & v_xv_z \\ v_yv_x & v_yv_y & v_yv_z \\ v_zv_x & v_zv_y & v_zv_z \end{pmatrix}

avrei bisogno di poter scrivere con una formulazione alternativa

$\nabla * ((\rho v) \otimes v) $

che dovrebbe venire

\begin{pmatrix} \partial(\rho v_xv_x)/(\partial x) + \partial(\rho v_xv_y)/(\partial y) + \partial(\rho v_xv_z)/(\partial z) \\ \partial(\rho v_yv_x)/(\partial x) + \partial(\rho v_yv_y)/(\partial y) + \partial(\rho v_yv_z)/(\partial z) \\ \partial(\rho v_zv_x)/(\partial x) + \partial(\rho v_zv_y)/(\partial y) + \partial(\rho v_zv_z)/(\partial z) \end{pmatrix}

a questo punto il mio libro (meccanica dei fluidi è la materia) scrive che:

$\nabla * ((\rho v) \otimes v) = \rho v ( \nabla * v ) + v \nabla * (\rho v).
$

Mi dispiace postare questa domanda così stupida, ma a me questa relazione proprio non mi torna... Ho fatto e rifatto i conti e invece mi viene:

$
\nabla * ((\rho v) \otimes v) = \rho v ( \nabla * v ) + v * \nabla (\rho v).
$

Qualche volenteroso per favore potrebbe controllare, ci sto diventando scemo...

[killing_buddha]

Ho l'impressione che il lato sinistro delle uguaglianze che vuoi dimostrare sia una matrice, e invece a destra c'è una cosa che non è una matrice... (è un vettore, uno scalare, boh, dipende dal significato che hanno quei simboli astrusi come $\nabla$ e la giustapposizione di $v$ con \(\nabla \cdot v\)).


"Un lato ti farà diventare più alta e l’altro ti farà diventare più bassa. "Un lato di che cosa? L’altro lato di che cosa?" pensò Alice fra sè. — Del fungo, — disse il Bruco"

[dRic]

Ho corretto il testo, scusa ma ieri ero un po' stanco e non me ne ero accorto.

[dRic]

Comunque dove c'è il $ * $ intendo prodotto scalare quindi $ \nabla * v $ dovrebbe essere la divergenza, e quindi con $v (\nabla * v) $ intendo il vettore di componenti $v_i*(\nabla*v)$ dove appunto la divergenza è uno scalare

[killing_buddha]

Mi sembra che allora la tesi segua dal fatto che la divergenza della matrice in oggetto è il vettore le cui righe sono le divergenze delle righe, e dalla proprieta di Leibniz per la divergenza.

[dRic]

Ma come si applica avendo come argomento un prodotto tensoriale?

[killing_buddha]

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_de ... _mechanics)

[killing_buddha]

Ho esteso un po' i confini della tua domanda: click.

[dRic]

Grazie mille dell'interessamento, ma purtroppo mi mancano le competenze per riuscire a starti dietro... Ho intuito qualcosa, ma mi mancano troppe nozioni

PS: il link che mi ha mandato è vuoto

[dRic]

Scusa, ho trovato il link giusto!

EDIT: Continuo ad avere un problema.... Ho trovato che $ \nabla * (A \otimes B) = A * \nabla B + (\nabla * A)B $ cosa che, secondo me è in contraddizione con quello che dice il mio libro, ovvero: $ \nabla ((\rho v)*v) = v \nabla * (\rho v) + \rho v (\nabla * v) $.

EDIT 2: L'unica cosa che mi viene in mente è che il libro abbia fatto questo: $ \rho v (\nabla * v) = \rho (v * (\nabla v )) = \rho (v * \nabla) v = \rho v (\nabla * v) $