Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti.
Mi chiedevo se fosse possibile "immergere" un ribaltamento lineare di $\mathbb{R}^n$ nel gruppo delle rotazioni di $\mathbb{R}^{n+1}$.
Me lo chiedevo perché, se ad esempio volessi ribaltare un segmento della retta, (idealmente) avrei bisogno di una dimensione in più, altrimenti, essendo costretto a rimanere dentro la retta, la mia trasformazione non potrebbe essere "rigida". In un certo senso, infatti, ruoto il segmento passando da un 2-spazio.
Pensavo a questo anche perché mi ...
Buonasera,
mi sono trovato un grandissimo grattacapo poiché su questo argomento non trovo tanta teoria.
L'esercizio è il seguente:
. Si considerino i seguenti vettori in R^3:
\(v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\end{pmatrix}\) \(v2 = \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}\) \(v3 = \begin{pmatrix} 1\\5\\7\end{pmatrix}\)
Sia W = . Si determini una base di W, e si calcoli la dimensione di W e si descriva W tramite
equazioni.
Allora, per il primo punto, ...
Allora sia data la funzione lineare f(x)=a x X
a=
(1)
(-1)
(2)
La matrice sarà
(0 -2 -1)
(2 0 -1)
(1 1 0)
Dopo aver calcolato le basi ortogonali all’immagine
(0)
(2)
(1)
e
(5)
(1)
(-2)
chiede di calcolare la base ortogonale al nucleo, allora ho ridotto a scala la matrice aggiungendo la colonna dei termini noti
(1 1 0|0)
(0 -2 -1|0)
(0 0 0|0)
Ho fatto un sistema
x=-y
z=-2y
y è un parametro libero allora la base viene
(-1)
(1)
(-2)
Però il risultato è
(-1)
(1)
(1)
Qualcuno ...
Buonasera a tutti, vi posto un esercizi che ho incontrato sulle basi.
Descrivere una base delle spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali.
Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''
Risoluzione:
Sia A una matrice 2x2.
\(A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\)
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori [latex]\{v1, v2, ...
Ciao,mi si da un endomorfismo $f:P3->P3$ definito così $f(p(x))= p(0)+x^2*p(1)+x^3*p(0)$
Devo scrivere la matrice associata a f considerando la base canonica di $P3$
Mi esce
$f(1)=(1+x^2+x^3) , f(x)=(x^2) , f(x^2)=(x^2) , f(x^3)=(x^2)$
La matrice quindi è $A= ((1,0,0,0),(0,0,0,0),(1,1,1,1),(1,0,0,0))$
Giusto o sbagliato?Grazie a tutti.
L esercizio mi chiede:
Trova l' equazione cartesiana di un piano ortogonale al vettore $v=(-1,2,-1)$. Quanti piani ortogonali a $v$ esistono?
Allora io ho risposto cosi:
Ogni piano nello spazio \( \mathbb{R^3} \) si rappresenta con un' equazione cartesiana:
$ax+by+cz=d$
dove almeno uno dei coefficienti $a,b,c$ non è nullo.
Ricordando che i coefficienti $a,b,c$ del vettore se ortogonale al piano identificano i coefficienti dell' equazione cartesiana ...
Salve a tutti!
Mi sono trovato davanti il seguente esercizio:
Date le basi $B={(1, 2, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1)}$ e $B'={(1, 1, 0), (2, 0, 1), (0, 0, 2)}$ si trovi la matrice di passaggio da $B$ a $B'$.
Una volta svolto, ho provato a verificare se quello che ho fatto è giusto, ma i conti non tornano... potete aiutarmi a capire dove sbaglio?
Il generico vettore appartenente a $B'$ sarà $(a+2b, a, b+2c)$.
Scrivo quindi ciascun vettore di $B$ rispetto a $B'$ svolgendo i ...
La funzione definita f(x)=c*x dove c=a*b
la colonna a è:
(1 )
(-1)
(2 )
La colonna b è:
(1)
(0)
(1)
Determinate il dominio e codominio di f:
Il risultato è dominio R^3 e codominio R^3
Come si arriva a questo risultato?
Il risultato ci dice che la matrice F è
[0 -1 1]
[1 0 1]
[-1 -1 0]
Ma non capisco come si arriva a determinare F per poi ricavare i dominio e codominio
Salve a tutti, ho un ellisse con centro nei punti x0=78 e y0=24, i semiassi a e b valgono rispettivamente 402 e 68 e l'angolo di rotazione è di 0.245 radianti. Come faccio a capire se un punto generico è interno o esterno all'ellisse? ho effettuato il cambio di coordinate ma non ci salto fuori...potete aiutarmi? grazie
Ciao! Per la vostra gioia anche stasera non vi faccio mancare tre dimostrazioncine
i) Dimostrare l'identità del parallelogramma: \(\displaystyle \lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert+\lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert=2\left(\lVert\mathbf{u}\rVert^2+\lVert\mathbf{v}\rVert^2\right) \)
Si ha dalla definizione di norma e dalla bilinearità del prodotto scalare: \[\displaystyle ...
Ciao,
Ho ripreso una vecchia dimostrazione e l'ho rifatta in un altro modo che mi piace di più.
data una forma $phi:VtimesV->K$ che sia bilineare(simmetrica o anti simmetrica).
Con $dimV=n,dimW=m$
se $WleqV$ allora $dimVleqdimW+dimW_(o r t)$
se $V$ non ha vettori isotropi allora vale l'uguaglianza
se $W$ non ha vettori isotropi in $W$ stesso allora $V=WoplusW_(o r t)$
ho cominciato prendendo una base ortogonale di $W$ per il ...
Qualcuno sà essermi di aiuto?
Ho cercato su libri ed internet ma non capisco come rispondere a questo esercizio.
Inoltre ho difficoltà a capire le matrici.
Esiste un sistema lineare di tre equazioni in quattro incognite senza soluzioni?
Se ritieni che esista, scrivine uno; se ritieni che non esista, spiega perché.
grazie
Ciao, devo trovare autovalori ed autovettori dell'endomorfismo $f:P2(x)->P2(x)$ che associa ad un polinomio p(x) il polinomio $p(1)+x *p(0)+x^2*p(2)$.
Non riesco a capire cosa intende per p(1), p(2) e quindi non costruirmi la matrice associata ad f.So soltanto che lo spazio vettoriale in questione ha dimensione uguale a 3 eche la base canonica è $(1,x,x^2)$.Grazie.
Salve, ho dei dubbi sulla definizione di fibra semistabile. In alcuni libri trovo che le proprietà da soddisfare sono:
(1) le uniche singolarità possono essere nodi,
(2) non deve contenere (-1)-curve,
(3) deve essere del tipo $X_b=\sum C_i$ con $C_i$ componenti irriducibili.
In altri libri la condizione (3) non è presente. In effetti a me sembra che segue necessariamente dalla (2) dal momento che l'espressione locale dell'intersezione deve essere $f(x,y)=x^2+y^2$ e le due ...
Ciao!! Oggi ho iniziato a lavorare sul concetto di prodotto scalare
Vi propongo tre esercizi di cui due piuttosto semplici di riscaldamento (ma il vostro parere mi fa sempre piacere) e uno che ho trovato più difficilotto:
i) Sia \(\displaystyle (V, \langle \cdot \rangle) \) uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare. Mostrare che \(\displaystyle \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle=0 \ \forall \mathbf{v} \).
Segue dal fatto che \(\displaystyle \langle \mathbf{0}, ...
Buonasera a tutti,
Il seguente esercizio è diviso in diversi punti. Ho riportato solo il punto che non mi è monto chiaro .
Comunque vi riporto il testo
Rispetto alla base canonica $ mathfrak{B} $ di $ \mathbb{R^3} $ sono assegnati l'endomorfismo $f$ di $ \mathbb{R^3} $ individuato dalla matrice
\(\displaystyle A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} \)
ed i vettori \(\displaystyle \mathbf{u}=(1,-2,k), \mathbf{v}=(1,0,2), ...
Salve, volevo porre dei quesiti vero o falso che vanno motivati, ho piu' o meno capito il perche' ragionandoci ma vorrei delle risposte piu "sensate", i quesiti sono i seguenti:
(i) Se det(AB) = 0, allora rg(A) < n e rg(B) < n.
(ii)Se det(AB) = 0, allora o rg(A) < n o rg(B) < n.
(iii)Se rg(A) = n, allora rg(AB) = n.
Secondo me sono F-V-F
Ciao a tutti! Propongo tre esercizietti relativamente semplici con i miei svolgimenti!
i)Sia \(\displaystyle L:V\rightarrow U \) dove \(\displaystyle \dim V > \dim U \) un'applicazione lineare. Mostrare che il nucleo di $L$ è non banale.
Allora, direi che il succo di questa dimostrazione si basa sulla relazione \(\displaystyle \dim V=\dim \Im L+\dim \ker L \). Si ha \(\displaystyle \dim \ker L > \dim U -\dim \Im L \); devo quindi far vedere che \(\displaystyle \dim U - \dim ...
Ciao,
Non riesco a dimostrare una proprietà del prodotto scalare.
$(lambdavecu)*vecv=lambda(vecu*vecv)$
Il primo membro è:
$(lambdavecu)*vecv=||lambdavecu||*||vecv||*costheta=|lambda|*||vecu||*||vecv||costheta$
Il secondo è:
$lambda(vecu*vecv)=lambda*(||vecu||*||vecv||costheta)=lambda*||vecu||*||vecv||costheta$
E mi risulta quindi vera solo per $lambda>=0$
Dove sbaglio?
Ad esempio, anche tentando di dimostrare che il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti, vengono fuori valori assoluti dove non ci dovrebbero essere. Eppure uso semplicemente le definizioni.
Grazie.
Hola! Vorrei dimostrare questo fatto: siano $A$ e $B$ due operatori lineari definite su $V$. Mostrare che se \(\displaystyle \ker A =\ker B= \{\mathbf{0}\} \) allora \(\displaystyle \ker(B\circ A)=\{\mathbf{0}\} \).
Poiché $A$ e $B$ hanno nucleo banale, sono iniettive; d'altro canto per la nota formula \(\displaystyle \dim V=\dim \Im A =\dim \Im B \), e siccome la dimensione del codominio coincide con quella del dominio, si ...
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