Calcolo sottospazi

[zio_mangrovia]

Dati due sottospazi di $RR^3$ definiti da $<(1,2,3),(0,2,-1)>$ e $<(2,2,7),(1,-2,5)>$ verificano:

[*:1r96rc6o] $X=Y$[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] nessuna delle altre[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] $YsubX$[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] dim $XnnY=1$[/*:m:1r96rc6o]
[*:1r96rc6o] $XsubY$[/*:m:1r96rc6o][/list:u:1r96rc6o]

come si approccia alla soluzione?

[anto_zoolander]

Puoi andarci felicemente per esclusione.
A occhio si vede subito che la dimensione dei due spazi generati è $2$ dunque: $XsubsetY$ o $YsubsetX$ sse $Y=X$
Già ne hai escluse praticamente tre a volo se confermi una delle due frecce.

La più verosimile a occhio è la $4$.

Si fa anche facilmente. Calcoli il sistema ${( |(x,1,0),(y,2,2),(z,3,-1)|=0),( |(x,2,1),(y,2,-2),(z,7,5)|=0 ):}$

Che sarebbero le equazioni cartesiane di $X,Y$ e vedi che dimensione ha l'intersezione.

Qui un po' di geometria può aiutare per la velocità. Di fatto sono due iperpiani di $RR^3$ e in quanto tali o sono paralleli(coincidenti perchè l'intersezione è non nulla) o sono incidenti in una retta.

Infatti da questa condizione praticamente ti escludi il fatto che possano non essercene.
Quindi se non sono paralleli allora hai intersezione $1$.
Se sono paralleli allora coincidono.
Non ci sono altre possibilità in questo caso

[zio_mangrovia]

In realtà l'esercizio dice che la soluzione è la numero 1 cioè $X=Y$ ma non capisco come i due span possano generare sottospazi uguali.

[anto_zoolander]

Ma infatti il rango della matrice mi viene $2$ quindi dovrebbero incidere in una retta.
O ho preso una botta in testa, o l'esercizio da una soluzione sbagliata.

[cooper1]

per dimostrare che $X=Y$ mostro che vale la doppia incusione.
$Y \subseteq X$
per farlo verifico che ciascun generatore di $Y in X$, verifico cioè se è una sua combinazione lineare.
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 & | & 1 \\ 2 & -2 & | & 2 & | & -2 \\ 3 & -1 & | & 7 & | & 5 \\ \end{pmatrix} \)
riducendo con Gauss si ottiene per esempio la seguente matrice:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 & | & 1 \\ 0 & -2 & | & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & | & 0 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \)
quindi i due sistemi sono sempre possibili (esiste sempre una soluzione) e quindi $y_1, y_2 in X rArr Y \subseteq X$

$X \subseteq Y$
imposto il sistema
\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & | & 0 \\ 2 & -2 & | & 2 & | & 2 \\ 7 & 5 & | & 3 & | & -1 \\ \end{pmatrix} \)
riducendo con Gauss ottengo la matrice
\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & | & -1 & | & -2 \\ 0 & 0 & | & 0 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \)
quindi anche qui i due sistemi sono sempre possibili perciò $x_1, x_2 in Y rArr X \sebsetq Y$

in conclusione, poichè vale la doppia implicazione si ha $X = Y$

[cooper1]

per l'intersezione, scrivo il vettore $w in X nn Y$ come comb lineare di X ed Y.
quindi $w=a(1,2,3)+b(0,2,-1)=c(2,2,7)+d(1,-2,5)$
portando tutto ad un membro ed uguagliando a zero ottengo il sistema:
\( \begin{cases} a-2c-d=0 \\ 2a+2b-2c+2d=0 \\ 3a-b-7c-5d=0 \end{cases} \)
che risolto mi viene
\( \begin{cases} a=2c+d \\ b=-c-2d \end{cases} \) con $c,d in RR$
e quindi $dim (X nn Y)=2$

[anto_zoolander]

Dove ho sbagliato

[cooper1]

purtroppo geometria affine/proiettiva/nello spazio non l'ho mai trattata. se mi dici cosa dovrei fare e cosa dovrebbe uscire, oppure se posti i conti posso provare a rifare il tutto.
P.S. non so come trattare il sistema che hai scritto.

[anto_zoolander]

Ho sbagliato i conti.
Entrambe le equazioni cartesiane dei due sottospazi vengono $Pi: 8x-y-2z=0$

Dunque sono paralleli, hanno la stessa dimensione e intersezione non vuota(contiene il vettore nullo).
Dunque coincidono.

@cooper

gli spazi vettoriali non per forza devi vederli come spazi affini. Si possono dotare di tutta la bella struttura per magari parlarne geometricamente. La mia era solo una cosa sugli spazi vettoriali.

Un'equazione cartesiana alla fine si trova così: fissi una base di tutto lo spazio $V$. $B={e_1,...,e_n}$
Hai $W= $ con $mleqn$ e in particolare li prendiamo indipendenti i vettori $w_j$

Prendi le componenti dei vettori $w_j$ rispetto al riferimento(la base dello spazio)

$vec(w_j) (a_(j1),a_(j2),...,a_(jn)), forallj=1,...,m$

Allora sai che $forall vec(w) inW, vec(w)=x_1vec(w_1)+...+x_mvec(w_m)$ con $vec(w)(y_1,y_2,...,y_n)_B$ ovvero sussiste una dipendenza lineare.
Questo cosa significa? Che la matrice,

$A=((y_1,a_(11),a_(21),...,a_(m1)),(y_2,a_(12),a_(22),...,a_(m2)),(...,...,...,...,...),(y_n,a_(1n),a_(2n),...,a_(mn)))$

Deve avere rango $m$ quindi usando Kronecher usi le equazioni cartesiane.

Nel nostro caso ho fissato la base canonica di $RR^3$ e quindi avevo due matrici per ogni sottospazio.

$A_1=((x,1,0),(y,2,2),(z,3,-1))$ e $A_2=((x,2,1),(y,2,-2),(z,7,5))$

Quindi a ogni sottospazio vettoriale viene assegnato un sistema lineare di $n-m$ equazioni in $n$ incognite le cui soluzioni sono tutte e sole le componenti dei vettori $w$ di $V$ tali che $w inW$
Viceversa a un sistema lineare omogeneo viene assegnato un sottospazio vettoriale generato da tutti i vettori di $V$ le cui componenti soddisfano il sistema.

Quindi studiando il sistema, studi il sottospazio.

[cooper1]

wow grazie per la bella spiegazione! appena ho un po' di tempo la guardo con calma.

[zio_mangrovia]

"anto_zoolander":Ma infatti il rango della matrice mi viene $2$ quindi dovrebbero incidere in una retta.
O ho preso una botta in testa, o l'esercizio da una soluzione sbagliata.

Qual è il legame del rango della matrice con i due sottospazi? La matrice si intende quella costruita dai 2 vettori?