Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
L'esercizio richiede di trovare il sottospazio intersezione di $ Vnn W $ .
$ V = Span(1,2,0,0),(1,0,0,0),(2,1,1,0) $
$ W = Span(0,2,1,-1),(1,0,0,0),(-1,1,-1,0) $
Ho risolto così:
$ x(1,2,0,0) + y(1,0,0,0) + ... $ etc..
e dopo aver risolto il sistema lineare mi è venuto così
$x = n$
$y = -2n-m$
$z = -n$
$l = 0$
$m = m$
$n = n$
e non credo sia corretto: Se lo fosse come vado avanti??
Grazie.
Ciao ragazzi, se qualcuno ha voglia di cimentarsi in questo esercizio, apprezzerei che mi indicaste dove sbaglio:
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Per prima cosa ho calcolato la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica in partenza e arrivo, componendo la seguente matrice:
$ A = [ ( 0 , -1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $
Successivamente ho trovato il polinomio caratteristico della funzione, che risulta:
$lambda^2(1-lambda^2)$
Dunque trovando gli autovalori ...
Salve a tutti. Sto studiando geometria analitica e mi sono imbattuta in un esercizio che non riesco proprio a risolvere.
Mi chiede di trovare l'equazione del piano contenente l'asse delle ascisse e parallelo alla retta r che passa per A(1,1,1) e B(2,1,-1).
Come posso fare? Normalmente avrei costruito la matrice con le coordinate di un punto e i due numeri direttori, ma ora non ho il punto.
C'e un modo per trovarlo o la risoluzione è completamente diversa?
Grazie per l'attenzione
Salve ragazzi. Per caso mi sapreste dire qual è la conseguenza del lemma di Steinitz per quanto riguarda la dimensione di uno spazio vettoriale?
Salve, ho ricavato questa matrice da un'applicazione lineare $ varphi t $ : A $ varphi t $ = $ ( ( t , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( t , 1 , t+1 ) ) $
Ecco, in un punto dell'esercizio mi viene chiesto di calcolare, se possibile, una matrice diagonale coniugata ad A0 E non ho ben capito come si svolge. Potreste aiutarmi??
Grazie a tutti!
salve, è il mio primo post quindi perdonatemi se farò qualche errore riguardo il regolamento
Sia $ (v1,v2,v3,v4) $ una base di uno spazio vettoriale $ V $ . dato un parametro $ k $, si consideri l'unico endomorfismo $ f $ tale che
$ f(v1)=v2 $
$ f(v2)=kv1+v3 $
$ f(v3)=kv1+v4 $
$ f(v4)=2v1+kv2+kv3+kv4 $
a) determinare i valori di $ k $ per i quali $f$ risulta iniettivo.
b) determinare una base del nucleo di $f$ in ...
Ciao a tutti.
Ho un problema con l'esercizio di topologia in allegato. Per il punto 1) avevo pensato che visto che una base per la topologia euclidea sono proprio gli intervalli aperti e che Q è sottoinsieme di R, il tutto fosse già dimostrato. Ma così non è, o almeno così mi ha detto il professore, ed io non capisco perché. Dovrei dimostrare che ogni aperto della topologia si può scrivere come unione di aperti di B1? E come lo faccio? E quando entra in gioco la topologia ecuclidea? Potreste ...
Ciao a tutti ragazzi, ho un piccolo problema nella comprensione dello svolgimento del seguente quesito:
Dato il punto$ (1,1,1), trovare l’equazione del piano π passante per P parallelo alla retta r: y=z=0 e perpendicolare al piano α : 3x + 2y−z = 1.
Il mio prof l'ha risolto così :
La retta r’ per P parallela ad r ha equazioni y-1 = 0, z-1 = 0. L’equazione del fascio di piani di centro la retta r’ `e. y-1+k(z-1) = 0. Imponendo la condizione di perpendicolarità con il piano α, ossia il ...
Allora ragazzi, ringrazio tutti voi per l'aiuto che mi avete dato nel tentativo di superare l'esame ma purtroppo non è andata bene. Potete immaginare la delusione.
Tra gli esercizi ce n'era uno che chiedeva il calcolo di una base dati 3 vettori con parametro...ora non ricordo bene quali fossero, mi sembra
$ bar(u)=[ ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ] ,bar(v)=[ ( 3 ),( -c ),( 1 ) ], bar(w)=[ ( 1 ),( 1 ),( c ) ] $
o qualcosa del genere. Come si svolge questo tipo di esercizi? Grazie
Salve a tutti, ho un'esercizio di una prova d'esame che mi sta facendo un pò faticare...
Ecco il testo:
Nello spazio riferito ad un sistema di assi ortogonali $\vec{x}\vec{y} $, scrivere l'equazione del fascio di parabole aventi la retta di equazione : $x - y + 1 = 0$ come diametro e tangenti nel punto $A(1, 0)$ all'asse $\vec{x}$.
Tra queste trovare quella il cui asse passa per l'origine.
Il mio primo istinto è stato quello di provare a scrivere l'equazione generale di un ...
Salve a tutti,
per dimostrare che un endomorfismo non è diagonalizzabile basta dire che gli autovalori non sono tutti distinti o bisogna anche verificare la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore?
Sui testi vedo scritto che se gli autovalori sono distinti allora è diagonalizzabile senza fare alcun controllo circa le molteplicità, mentre se non è diagonalizzabile invece fa i suddetti controlli.
Mi spiegate un pò come si svolge il tutto?
Grazie.
Salve a tutti, sono in difficoltà per la mia tesi, devo decifrare un passaggio di una dimostrazione che mi è alquanto ostico, ecco il calcolo in questione
$\nabla_(\partial/(\partialu))(1/\sqrt{E}\partial/(\partialu))$ dove E è il noto coefficiente metrico della prima forma fondamentale di una superficie e u è la prima variabile.
Su wikipedia ho trovato la seguente formula $\nabla_(e_j)ei=\Gamma_(ij)^1e_1+\Gamma_(ij)^2e_2+...+\Gamma_(ij)^(n)e_n $
Però non so se vale una regola tipo quella di Leibniz essendoci dentro quella funzione...
Grazie
Ciao a tutti Mi sono appena iscritto ed ho già una domandina da porvi!
Sto preparando l'esame di algebra lineare e geometria e studiando le coniche a centro mi sono accorto di una cosa:
Le coordinate $(x,y)$ del centro di una conica (ovviamente di una conica a centro) presentano tutte al denominatore il determinante della matrice dei termini quadratici, o al più contengono un suo fattore.
Ok, provo a spiegarmi:
Se considero la conica di equazione: $2x^2+4xy+5y^2+2x-2y+1=0$
La matrice ...
Buonasera, ho svolto un esercizio di una prova d'esame della mia prof di geometria solo che non essendoci risultati volevo riportarvi qui dei passaggi per charirmi le idee e controllare eventuali errori:
Sia $varphi$(t): $R^3rarr R^3 $ un'applicazione lineare così definita:
$varphi$ (t) (x1,x2,x3) = (tx1+tx3,x2+x3,tx1+x2+(t+1)x3)
1) Scrivere la matrice A $varphi$ (t) associata a $varphi$(t) /b]
RISPOSTA: $( ( t , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( t , 1 , t+1 ) ) $
6) Studiare la ...
Prendo una forma quadratica parametrica a caso, ad es.
$x^2+y^2+z^2+2alphaxy+8xz+alphazx$
Ne devo studiare il segno.
La matrice associata è $A= [ ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) ] $. Quindi ho
$A_(\1)=1>0$
$A_(\2)= | ( 1 , alpha ),( alpha , 1 ) | ->det| ( 1 , alpha ),( alpha , 1 ) |=1-alpha^2 $
$A_(\3)=| ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) | ->det| ( 1 , alpha , 8 ),( alpha , 1 , 0 ),( alpha , 0 , 1 ) |=1-8alpha$
Elenco le cose di cui non sono certo e di cui, quindi, avrei bisogno di conferma:
1.a. - Per il segno del secondo minore, nell'ipotesi in cui ci siano più termini oltre quello col parametro, devo mettere sempre, all'inizio, $>0$? Nel senso che, qualora avessi ottenuto dal ...
Autospazio $S(lambda)$ -------> $S(lambda)={bar(x) in R^3 : bar(x)=l[ ( a ) , ( b ) , ( c ) ]+k[ ( d ) , ( e ) , ( f ) ], l,k in R}$
Base di un autospazio $S(lambda)$ -------> $ {[ ( a ),( b ),( c ) ] [ ( d ),( e ),( f ) ]} $
Dimensione di un autospazio $S(lambda)$ -------> $dim(S(lambda))=dim(Ker[A_(\j)])=n-dim(Im[A_(\j)])$
Dimensione del sottospazio immagine $Im[f]$ ---------> $dim(Im[f])=R(A)$
Base del sottospazio immagine $Im[f]$ ---------> $ {[ ( a ),( b ),( c ) ] [ ( d ),( e ),( f ) ]} $
Dimensione del sottospazio nucleo $Ker[f]$ ----------> $dim(Ker[f])$
Base del sottospazio nucleo ...
Salve a tutti! Ho questo problema:
Sia A una matrice simmetrica 4x4 tale che det(A)=0 e det(A4,4)=2.
Si descriva S spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad A.
Allora io ho scritto la matrice in questo modo:
$ A= [ ( a11 , a12, a13 , a14 ),( a12 , a22 , a23 , a24 ),( a13 , a23 , a33 , a34 ),( a14 , a24 , a34 , a44 ) ] $
Il sistema lineare omogeneo associato ad A è:
$ S= { ( a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=0 ),( a12x1+a22x2+a23x3+a24x4=0 ),( a13x1+a23x2+a33x3+a34x4=0 ),( a14x1+a24x2+a34x3+a44x4=0 ):} $
Come devo proseguire l'esercizio?
Grazie in anticipo!
Ciao ragazzi, ho bisogno di una mano per questo esercizio :
Si provi che il sottoinsieme : $S= { 2-x , 1+x, x^2 +x^3, 1-x-x^4. x^3}$
dello spazio vettoriale $RR_4[x]$ dei polinomi dei grado al più 4 è linearmente indipendente ed è un sistema di geneatori per lo spazio stesso. Si scriva il polinomio $ 1+x^2$ come combinazione lineare dei polinomi di $S$.
Infine, descrivere il sottospazio vettoriale generato dai vettori $2-x$ e $1+x$
E' la prima volta che ne ...
Salve, ho dei problemi con questo esercizio:
"Nello spazio euclideo E3, determinare le equazioni delle rette per l'origine incidenti la retta r) {x=2z+3; y=z e formanti con essa un angolo di π/4."
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto nel seguente prodotto tra matrici.
$((-1,1),(1,-2)) * ((e^-t, 0),(0,e^(-2*t))) * ((-2,-1),(-1,1))$
Poichè il prodotto tra matrici gode della proprietà distributiva, faccio prima il prodotto tra le prime due matrici e successivamente moltiplico tutto per la terza matrice.
Risulta:
$((-1,1),(1,-2)) * ((e^-t, 0),(0,e^(-2*t))) = ((-e^-t, e^(-2*t)),(e^-t, -e^(-2*t)))$
Faccio adesso l'altro prodotto:
$((-e^-t, e^(-2*t)),(e^-t, -e^(-2*t)))*((-2,-1),(-1,1))=((2e^-t-e^(-2*t),e^-t+e^(-2*t)),(-2e^-t+2e^(-2*t), -e^-t-2e^(-2*t)))$
Cosa c'è di sbagliato?
Grazie
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