Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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E' corretto affermare che, per il teorema delle dimensioni, in un endomorfismo ciò che non è nucleo è immagine e viceversa?
Ragazzi, scrivo testo e procedimento ( logico e senza calcoli per capire se l'errore è di conto oppure no )
L'esercizio è il seguente
Sia $ L: R^3->R^3 $ un'applicazione lineare definita da
$ L(x,y,z)=(x-z,2x+y,2y+z) $
Scrivere la matrice rappresentativa di B rispetto alla base $ B = {(1,0,1),(2,0,0),(-3,1,1)} $
Allora scrivo tutto quello che è il mio procedimento logico.
In primis ho scritto la trasformazione con la sua matrice rappresentativa 3 x 3 ( ovviamente rispetto alla base canonica: a proposito quando mi viene ...
Ciao a tutti! Vorrei sapere se qualcuno ha idea e mi può spiegare come procedere nel momento in cui viene assegnata una matrice numerica 2x2 con un parametro libero di variare e ci è chiesto di estrarne una base.
Grazie in anticipo!
Ciao a tutti, rieccomi con questo esercizio di topologia, preso da una traccia d'esame.
Posto, per ogni $t \in [-1,1]$, $A_t={x \in RR:sin(x)=t}$, si consideri l'insieme
$\mathcal{B}={A_t: t \in [-1,1]}$.
Sia $\tau$ la topologia generata da ]$\mathcal{B}$.
(i) Mostrare che ${x \in RR: cos(x)=0}$ è aperto in $\tau$.
(ii) Determinare $Int[0,1] , Int[0,1)$.
(iii)Determinare $\overline{{0}}$
(iv)Dire se $RR,\tau$ è uno spazio di Hausdorff
(v)$RR$ è connesso ...
We
vorrei un conferma sullo svolgimento di questo esercizio
Sia $\tau$ la topologia su $RR$ data da $\tau={U \subset RR: x \in U => x+1 \in U}$.
(i) Confronta le due topologie $\tau$ e $\tau_e$ (topologia euclidea).
(ii)Trova $Int[0,1]$, $Int RR \setminus {0}$, $Int \mathbb{Z}$.
(iii)$RR,\tau$ è uno spazio di Hausdorff?
(iv)$\mathbb{Z}$ è chiuso?
(v)$RR$ è connesso in $\tau$?
(vi)E' compatto?
(vii) La funzione ...
Ciao a tutti! Nell'esercizio che copio sotto non riesco a capire come sviluppare il punto c e di conseguenza il d. Qualcuno mi saprebbe aiutare? Grazie in anticipo.
" Nello spazio affine euclideo tridimensionale, sia π il piano di equazione 2x − y + z = 1
e siano A = (−1, 0, 3) e B = (2, 2, −1) due punti di π. Si indichi con C la circonferenza, contenuta nel
piano π, di centro A e passante per B.
(a) Si determinino le equazioni parametriche della retta s, contenuta nel piano π, passante per B ...
Salve a tutti, ho un problema, in un piano cartesiano ho un segmento di una lunghezza data e con i due punti dati.
Ora dovrei trovare i punti degli altri due vertici in modo tale da avere un triangolo equilatero.
Ringrazio a tutti anticipatamente.
Buongiorno, sono alle prese con degli esercizi di fisica che mi chiedono di dover risolvere i seguenti sistemi.
1)Problema. Fatte le dovute considerazioni, metto a sistema il tutto, in un sistema di 4 equazioni in 4 incognite.
x,y,z,k saranno le mie incognite:
\( \begin{cases} xg=y+z \\ k=xg \\ z=\mu_sm_1g \\ k+y=z \end{cases} \)
In questo caso,alcune incognite mi si annullano.. e non credo sia possibile
2)Problema. In questo caso sono davanti ad un sistema di due equazioni in sue ...
Ciao,
Non riesco ad impostare il seguente quesito:
Trovare l'equazione della retta tangente nel punto $ P=(2,2) $ alla conica $ x^2 - 2y= 0 $
Grazie in anticipo
$ ((1,-1,1,0),(1,0,1,-2),(0,1,0,-1)(0,0,0,0)) $Salve a tutti, mi servirebbe solo una piccola conferma.
In un esercizio dovevo trovare una base del Ker di una trasformazione lineare
La cui matrice è questa:
$C=((1,-1,1,0),(1,0,1,-2),(0,1,0,-1),(0,0,0,0))$
Quindi dopo aver portato la matrice a scala ho scoperto che il rango è 2
La dimensione della base del Ker sarà quindi 2
Ho quindi risolto il sistema lineare:
$\{(x - y + z = 0),(x + z - 2t = 0),(y - 2t = 0):}$
Ho quindi preso 2 variabili a cui ho dato valore A e B
$\{(x = 2t - z),(y = 2t),(z = A),(t = B):}$
Arrivando alla soluzione:
...
Salve, chi sarebbe cosi gentile da aiutarmi sul punto a) ? come si calcola la base del nucleo e dell'immagine?
Consegna esercizio :
Sia L: $R^3 -> R^2 $ l'applicazione lineare associata alla matrice A = $ ( ( 3 , -1 , -2 ),( -3 , 1 , 0 ) ) $
a) Calcolare la dimensione e una base del suo nucleo e della sua immagine.
b) Calcolare, se possibile, la sua inversa.
Buongiorno, avrei dei dubbi relativi a questo esercizio:
Nello spazio $\epsilon$ dotato di un riferimento affine $ R(O; i; j; k) $ :
Mostrare che i vettori $ v = (-2, 3, 5) $ e $ w = (4, 1,7) $ sono non paralleli; determinare i vettori
$ u = (\alpha, \beta,\gamma) $ complanari con v e w, e fra essi quelli tali che $ \alpha = 0 $.
La prima parte l'ho risolta verificando che $ u= \lambda w $, trovando che appunto i due vettori non sono paralleli... La seconda parte invece non riesco bene a ...
Salve a tutti. Sto studiando le coniche e mi sono imbattuta in un metodo di scrittura dell'equazione che non avevo mai trovato e quindi non so se i mezzi che conosco sono ancora validi. Mi chiede di classificare la conica di equazione 4x^2-10xy+4y^2-18=0
Per farlo, è sufficiente impostare la matrice associata e valutarne il determinante? E in base poi se questo sia maggiore minore o uguale a 0 classificare la conica come ellisse iperbole o parabola?
Grazie per l'attenzione
Dimostrate che la mappa continua
\[
@_t \colon Y^{[0,1]} \to Y
\] che manda un cammino continuo $\gamma$ in $\gamma(t)$ è un'equivalenza omotopica.
Rispondendo qui ho implicitamente usato questa cosa, ma non mi sembra ovvio dimostrarlo né falsificarlo, né trovo un riferimento online.
Perciò: è vero o falso che il rivestimento universale di $S^1\vee S^1$, ovvero il grafo di Cayley
è uno spazio contraibile?
Buongiorno!
Ho la seguente topologia su $mathbb{R}$
$tau = { U subset mathbb{R} | (0,+infty) subset U} cup {emptyset}$
Mi è chiesto di determinare: $Int(1,2), Int(1,+infty), Int(-1,5), Int[-2,+infty)$
Io ho ragionato tenendo conto che $Int(A) subset A, forallA subset mathbb{R}$ e $Int(A) in tau$
Dunque,
$Int(1,2) = emptyset$, in quanto non troverò mai un aperto della topologia contenente $(0,+infty)$ e contenuto in $(1,2)$.
Analogamente:
$Int(1,+infty) = emptyset$, $Int(-1,5) = emptyset$
$Int[-2,+infty) = [-2, +infty)$, in quanto $(0,+infty) subset [-2,+infty) subset mathbb{R}$
Giusto?
Ciao a tutti,
tanto per cambiare ho quest'esercizio di topologia di cui però non possiedo la soluzione.
Sia $X=[0,1] \cup {2}$ sottoinsieme di $RR$. Prendiamo la base di aperti $\mathcal{B}$ ottenuta come unione di tutti gli aperti della topologia euclidea indotta su $[0,1]$ e tutti gli insiemi del tipo $(x,1) \cup{2}$, $x \in [0,1)$. Prendiamo la topologia $\tau$ generata di $\mathcal{B}$.
Consideriamo la funzione ...
Vorrei provare a dimostrare che la curva $y^2 -x^2=0$ non ammette una struttura di sottovarietà differenziabile nel piano. Non ho ben chiaro come fare, solo qualche idea e qualche consiglio.
Anzitutto, non ho ben capito quanto sia importante il fatto di cercare di montare sulla curva una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$ e non di varietà a sé stante. Cosa cambia, e se nel secondo caso tale struttura esiste, come la trovo?
Visto che voglio una sottovarietà mi scrivo la curva ...
Buongiorno a tutti, scusatemi la domanda banale.
Per un esercizio di fisica, devo ricavare due incognite da un sistema di due equazioni. Il punto è che,generalmente dinnanzi a questo tipo di sistemi, trovo differenze di quadrati nella seconda equazioni, percui scomponendo i termini, dividendo membro a membro le due equazioni mi ritrovo con un'equazione di primo grado, che vado a sostituire in entrambe le due equazioni. In questo caso non posso applicare questo metodo..
Il sistema è questo:
\( ...
Se prendo un toro ($S^1\timesS^1$) e gli tolgo un punto, lo spazio che ottengo che gruppo fondamentale avrà?
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