Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $ V $ lo spazio vettoriale reale dei polinomi di terzo grado e si consideri l'insieme:
$ B={2X^2 - 2X - 1, X^3 -2X +1, hX -2h} $ con h in R.
1) Determinare per quali valori di h la dimensione di B è 2.
2) Posto h= -2 completare B a una base di V
1) Allora prima di tutto andrei a considerare lo spazio vettoriale come $ R^4 $ e costruirei la matrice definita dall'insieme, se questa matrice ha rango 2 allora la dimensione è 2 giusto? Riducendo la matrice a scalini mi ...
Considerato un fascio di piani F(r) avente per asse la retta:
$ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $
ed il piano $pi$: 3x-5y-z-3=0
determinare un piano appartenente al fascio tale che risulti parallelo a $pi$
io ho ricavato l'equazione del fascio solo che non saprei proprio come impostarlo per continuare... come andrebbe impostato?
Salve, nelle tracce d'esame spesso sto trovando un punto di un esercizio con la richiesta: "se possibile descrivere una matrice diagonale coniugata ad $A_0$"
Es nell'ultimo esercizio che ho fatto avevo la matrice $ ( ( t , 0 , 3 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , 0 , t+1 ) ) $
1) Nel caso in cui t=-2 determinare gli autovalori con la loro molteplicita' algebrica, geometrica e un autospazio
Fin qui tutto ok, poi
2)Se possibile descrivere una matrice diagonale coniugata ad $A_-2$
Come si procede in questo secondo ...
Salve a tutti
Ho problemi a dimostrare la seguente cosa:
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita reale. Sia $\psi$ un prodotto scalare.
Definisco $\phi_{f}(v,w)=\psi(v,w)+\psi(f(v),f(w))$ un prodotto scalare dove $f$ è un endomorfismo invertibile.
Sapendo che se $\psi$ è semi definito positivo allora lo è anche $\phi_{f}$ e $rk(\phi_{f})\geq rk(\psi)$.
Sapendo che se $\psi$ è non degenere allora $i_{+}(\phi_{f})\geq i_{+}(\psi)-i_{-}(\psi)$.
Voglio dimostrare che se ...
Ciao a tutti,
ho un problemino con un esercizio. Mi viene assegnato il seguente endomorfismo su R3
$ f(e1)=4e1-e2+2e3 $
$ f(e2)=ke2 $
$ f(e3= e1 - e2 + 5e3 $
dove k è un parametro reale.
mi viene chiesto di determinare base e immagine di im f e ker f, io ho pensato di procedere cosi.
Determino la matrice associata A : $ ( ( 4 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , -1 ),( 2 , 0 , 5 ) ) $ dove nel centro ci dovrebbe essere k che è pari a 0. essendo il rango di A la dimensione di im f è pari a 2, e scelgo come base la prima e terza colonna, ...
Quando ti forniscono una rappresentazione parametrica di una curva e ti chiedono di determinare il piano normale $π$ nel punto $P = γ(0)$.
Come si prosegue ? Che formula va utilizzata ?
Ciao a tutti! Posto qui sotto un esercizio sulle affinità (che ahimè non sono il mio forte )
"Sia $C$ la conica di $RR^2$ di equazione $3x^2+2y^2-4xy+2x+4y+1=0$
a)Mostrare che per ogni $P in RR^2$ esiste un'affinità $f:RR^2 to RR^2$ tale che $f(P)=(0,0)$ e $f(C)$ è una circonferenza di raggio 1 e centro sull'asse x
b)Determinare il luogo dei punti $Q$ di $RR^2$ per cui esiste un'affinità $g:RR^2 to RR^2$ tale che ...
Determinare la distanza del punto $A(1,2,0)$ della retta $r$ rappresentata dalle equazioni :
$\{(x−y + 3 = 0),(4x−z + 9 = 0) :}$
Non so minimamente come fare..
Ciao!!
Problema urgente
Sia α(s) una curva differenziabile parametrizzata rispetto all’ascissa curvilinea s e supponiamo che α abbia curvatura costante k > 0 e torsione nulla.
(a) Provare che γ(s) = α(s) + (1/k)n(s) è una curva costante, cioè γ(s) = P0, per qualche punto fissato P0.
(b) Usando (a), provare che la curva α(s) è parte di una circonferenza centrata nel punto P0. Qual è il raggio della circonferenza?
Grazie!!
Ciao ragazzi, ancora una volta ho bisogno del vostro aiuto !
Come da titolo vorrei trovare la retta r tangente per il punto $P = γ(1)$
Avendo la curva con eq. :
$x=e^t-t$
$y=2t^2$
$z=1$
faccio la derivata prima e trovo :
γ'
$x'=e^t-1$
$y'=4t$
$z'=0$
Come devo procedere ora per trovare la tangente che passa per questo punto ?
Ciaoooo... ho questo esercizio...
Dati i vettori colonna
$[[1],[a-1], [-a]] $ $[[a], [0], [-1]] $
• Stabilire per quali valori del parametro reale $a $∈ ℝ i due vettori risultano linearmente indipendenti.
• Posto $a=2$ stabilire se il vettore colonna
$[[5], [3], [-7]] $
può essere espresso come combinazione lineare dei primi due vettori colonna e, in caso affermativo,
trovare i pesi della combinazione lineare.
Ho provato a risolverlo cosi
Il primo punto dell'esercizio ...
Ciao a tutti, tra pochi giorni avrò l'esame di geometria e mi trovo in difficoltà con questa tipologia di esercizio.
Il testo dice: Sia dato l'endomorfismo $ f: RR^(2,2)-> RR^(2,2)$ tale che $f(X)=AX+X^tA$ dove $A((6,\lambda),(1,3))$ con $ lambda in RR$
a) Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
b) Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica e alla base $((6,1),(0,0)),((1,0),(1,0)),((0,0),(0,1)),((0,3),(0,0))$
c) scrivere in maniera esplicita la $f$
So che la base canonica di ...
Devo diagonalizzare per similitudine la matrice A=$((0,1,0),(0,2,0),(0,0,2))$ ma trovo una matrice E che non è invertibile.
Ho scritto l'equazione caratteristica det(A-$\lambda$ $I_3$)=(0-$\lambda$)($\lambda$-2)^2 ed ho trovato i due autospazi
V={(x,y,z):y=0,z=0} di dimV=1 con autovettore (1,0,0)
$V_1$={(x,y,z):2x-y=0} di dim$V_1$=2 con autovettori (1,2,0) e (2,4,0)
ma ottengo la matrice E=$((1,1,2),(0,2,4),(0,0,0))$ che non è invertibile ma ...
Salve ragazzi, mi chiamo Andrea e da poco ho deciso, un pò per divertimento un pò per nostalgia, a riprendere in mano alcuni problemi riguardante la matematica.
Ma dall'ultima volta che ho preso in mano i libri son passati circa 9 anni ! Quindi non ricordo alcune cose che probabilmente prima erano scontate. Quindi vorrei, se possibile, interpellarvi e chiedervi alcuni chiarimenti. Premetto di aver cercato in rete da diversi giorni una soluzione al mio quesito ma, purtroppo, non ho trovato ...
dato il seguente teorema:
sia $AinCC^(MxN)$ allora :
$(Ax)y=x(A$*$y)$
$AAx$ $inCC^N$ $AAy$ $inCC^M$
[*:2my2pn62] $x$ deve essere interpretato come $x in CC^(Nx1)$ invece di $x in CC^N$ e $y$ come $y in CC^(1xM)$ invece di $y in CC^M$ ?[/*:m:2my2pn62]
[*:2my2pn62] $x$ è il vettore colonna e $y$ il vettore riga ? Ma come distinguerli se non presente ...
Ecco qui il testo di un esame di topologia, preso da internet:
EX
Sia $A={(x,y):x^2+y^2<4 \ cup x=0} \cap {(x,y): y!=0}$ un sottoinsieme di $RR^2$ dotato della topologia naturale, si determini:
(i) L'interno di $A$
(ii)La chiusura $\overline{A}$ di $A$
(iii)Se $A$ è compatto
(iv)Se $A$ è connesso
(v)Se $\overline{A} \cap {(x,y):x^2+y^2 leq 1} $ e $ {|x|+|y| \leq 3}$ sono omeomorfi.
Sol.:
L'insieme $A$ è formato dalla palla aperta di raggio ...
Buongiorno a tutti!
Ho il seguente esercizio:
Nello spazio euclideo tridimensionale, si consideri la quadrica di equazione
$ Q: x^2+2xy+y^2+2z=0 $
1) Si classifichi Q.
2) Si classifichino le coniche ottenute intersecando Q con il piano di equazione x+2y=t, al variare di t appartenente ad R.
1) Il punto 1 l'ho fatto nel seguente modo:
$ A=[ ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $
$ B=[ ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
Ho calcolato i determinanti e mi risultano:
det(A)=0
det(B)=0
mi guardo pertanto i ranghi e mi ...
Salve a tutti. Sto studiando geometria e nel progamma mi chiede la condizione di parallelismo tra due rette, tra due piani, tra una retta ed un piano. Analogo discorso per la perpendicolarità.
Le condizioni in sè le conosco, non riesco però a trovarne le dimostrazioni.
Qualcuno ha qualche link o libro a cui posso far riferimento?
Grazie
Salve a tutti, ho problemi a determinare le soluzioni di questo sistema, in quanto non mi trovo con il rango della matrice... vi allego la scansione della pagina (sono pochi passaggi)
https://www.dropbox.com/s/hqbs1pasgju2c ... 9.pdf?dl=0
Ciao a tutti Mi sono sorti dei dubbi riguardo questo esercizio
"Determinare dimensione e base, al variare di h, dell'immagine e del nucleo di $ f:RR^2->RR^3 : f(x,y)=(x+hy,hx+y,(h+1)y) $
Per prima cosa ho determinato la matrice associata alla base canonica di $RR^2$:
$A=((1,h),(h,1),(0,h+1))$
Ho calcolato il determinante e ottengo che la matrice ammette $rk(A)=2$ per $h!=0$ e $h!=-1$
Quindi $dim Img f =2$ e Base ${(1,h,0),(h,1,h+1)}$ per $h!=0$ e $h!=-1$
mentre per ...
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