Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti. E' il secondo post che scrivo in questo forum quindi perdonatemi se ci sono delle imprecisioni.
Volevo proporre un esercizio ed una soluzione abbozzata. Se potesse interessare devo sostenere il primo esame di geometria del corso di fisica a Tor Vergata. La soluzione abbozzata l'ho "estrapolata" da un altro thread su un argomento simile.
Testo dell'esercizio:
Sia \(\beta=\{e_1, e_2, e_3\}\) la base standard di \(\mathbb{R}^3\). Dire per quali valori del parametro reale \(k\) ...
Buonasera a tutti ! Ho un problema sulla consegna di questo esercizio :
Sia $f : {(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}→RR^3$ la funzione definita dalle seguenti posizioni
$f(1,1,0) = (3,2,0)$
$f(0,1,1) = (0,2,1)$
$f(1,0,1) = (3,0,1)$
Si può estendere f ad una applicazione lineare $f'$ di $RR^3$ ? Se fosse possibile, in quanti modi si potrebbe fare? Quale sarebbe la matrice associata ad $f'$ nel riferimento naturale? Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale funzione ...
$ f(x1,x2,x3,x4) = (x1−x2−x3+x4, 2x1−x2−2x3+2x4, −2x1+2x2+3x3−2x4, −2x1+3x2+3x3−2x4) $
Determinare, se esiste, l’insieme $ f^-1(0,2,−2,0) $.
Potreste dirmi come andrebbe svolto questo esercizio? Io farei questo ragionamento ma non so se è corretto.. Anzitutto bisogna vedere che l'endomorfismo sia invertibile, successivamente su risulta invertibile dire $ f^-1(0,2,−2,0) $ equivale a dire se esiste un $ f(x1,x2,x3,x4)=(0,2,-2,0) $
$ \subseteq $Salve ragazzi,ho qualche dubbio su questo esercizio! Vi lascio la traccia e poi vi dico..
Determinare la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi vettoriali ... e la dimensione di quelli tra i seguenti sottoinsiemi che risultano essere sottospazi ("si conviene che il vuoto sia una base dello spazio vettoriale nullo {0}"):
$T={(1,1,1),(0,0,0),(2,2,2)}$ $\subseteq$ $R^3$
$U=L{(1,1,0,-1),(0,2,-3,1),(-2,0,-3,3),(0,0,0,0)}$ ...
Salve sto ripassando alcuni esercizi svolti sulle applicazioni lineari ;
c'è una parte dove non mi trovo e devo calcolare una base di imgf
la Matrice M associata è
$((0 ,1, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(0,0,0,0),(1,1,1,2)) $ ridotta $ \rightarrow ((0 ,1, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(0,0,0,0),(0,0,0,2)) $
Una base di Im f e` [(0, 1, 0, 1) , (1, 0, 0, 1) , (0, 0, 0, 2)]
posso capire la presenza del vettore prima colonna e seconda colonna con i pivot presenti nella Ridotta, rispettivamente in (a12) , (a21)
ma non ho capito come mai ma presenza della terza colonna
la terza riga ...
Salve a tutti! Non riesco a determinare una base di $U$ nel seguente esercizio:
Si calcoli una base del seguente sottospazio
$U:={A in RR^(2,3) : A^tB=C^tA}$
dove $B=((6,0,0),(0,0,1))$ e $C=((1,1,0),(1,0,3))$
Ora, prendendo come matrice generica
$A=((a,b,c),(d,e,f))$
e calcolando
$A^tB=C^tA$
ottengo
$((a+b,a+3c),(d+e,d+3f))$
Come posso determinare una Base di $U$?
Inoltre se ho una matrice $M in U$
$M=((a,-2a),(c,-2c)) $
e la scrivo come combinazione lineare
$a((1,-2),(0,0)) + c((0,0),(1,-2))$
come ...
Nello spazio vettoriale euclideo R4 si considerino i seguenti sottospazi:
A = {(x1,x2,x3,x4) : x1 + x2 + x3 = 0};
B =< (1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,−1,0,2) > .
-Determinare una base per gli spazi A + B, A∩B e B⊥.
-Determinare una base ortogonale per B
ragazzi non riesco a svolgere questo esercizio potreste aiutarmi?
Salve Ragazzi. C'è questo esercizio che non riesco proprio a concludere. Vi lascio la traccia:
Sia $(V,+,.)$ uno spazio vettoriale di dimensione 4su un campo $K$ e che $E$ ed $F$ siano due sottospazi vettoriali tali che:
$dim (E) = 3$ , $dim (F) = 2$ .
Quali valori può assumere $dim(E ∩ F)$?
Io ho iniziato a svolgerla attraverso la formula di Grassman,però non mi trovo con i valori da inserire.
Sappiano che $E ∩ F$ è ...
Buon pomeriggio.
Sia $B = {[n,n+1] : n in ZZ}$
a) provare che $B$ è base di una topologia $tau$ su $RR$
b) la topologia $tau$ è più/meno fine della topologia euclidea $tau_0$ su $RR$?
a)
1) è ovvio che $RR = bigcup_(n in ZZ) [n,n+1]$
2) siano $A_1$ e $A_2$ elementi della base $B$ tali che $A_1$ $cap$ $A_2$ $ne emptyset$
$A_1 = [n,n+1], A_2 = [m,m+1], m,n in ZZ$
Può capitare che ...
Ciao a tutti ragazzi, ho un piccolo dubbio riguardante la diagonalizzazione di questa matrice dipendente da un parametro(per ora la matrice è scritta di fretta poi imparando un po la scriverò con un formato migliore). Devo discutere la sua diagonalizzazione(su C ed R) al variare di k in R.
(1) (1/2-k) (0)
(2-k) (1) (-k)
(k^2-2)(2k-1)(k^2)
Ho provato a calcolare il suo polinomio caratteristico e viene: P(x)= -x^3+(k^2+2)x^2+(-3k^2-3/2k)x+(2k^3+k)
A questo punto dovrei calcolare le ...
La proiezione di $(−1,1,1)$ su $⟨ (1,0,1) , (1,0,0) ⟩$ si trova così?
$((−1,1,1) (1,0,1))/ |1,0,1|^2(1,0,1)$ $+$ $((−1,1,1) (1,0,0))/ |1,0,0|^2(1,0,0)$ $=$
mi torna $0/2(1,0,1) + (-1/1)(1,0,0) = (0,0,0)+(-1,0,0)=(-1,0,0)$
E' corretto? La soluzione mi dice $(-1,0,1)$ ma non capisco..
Stavo pensando a come poter dimostrare che l'applicazione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ che manda $x$ in una curva $\phi(x)$ sia aperta nel caso in cui la curva non faccia "schifo" (passatemi il termine ). Ad esempio, come potrei provare che la funzione $t \to (t,t^2)$ è aperta? Mi interesserebbe una trattazione il più generale possibile, comunque.
Personalmente avevo pensato a mostrare che la curva è una varietà, cioè localmente omeomorfa a un aperto di $\mathbb{R}$, ma ...
Ciao,
Ho il seguente esercizio:
Determinare l'equazione della conica tangente alla retta $ x-y-1=0 $ in $ (2,1) $ e passante per i punti $ P_1(-1,0) \ P_2(0,3) \ P_3(0,-3) $
Sono partito dalla definizione per ottenere l'equazione $ [(x-c)^2 + y^2]/[(x-h)^2]=e^2 $ dove il fuoco è $ F=(c,0) $ e la direttrice ha equazione $ x-h =0 $
Poi impongo il passaggio per 3 punti.
Da qui non so come andare avanti...
Ciao a tutti, ho appena fatto l'esame di analisi 1 e mi sono imbattuta in questo esercizio:
Dati i vettori u=i, v=-i+j+k determinare per quali valori di λ il vettore w=u+λv forma un angolo di 60° con il piano π:x-y-z=3
Sono arrivata a scrivere il vettore w=i+(-λi+λj+λk) ma poi non ho idea di come proseguire, vi ringrazio per l'aiuto
Ciao a tutti,
Ho da risolvere il seguente esercizio:
Determinare l' equazione della circonferenza C passante per il Punto P (3,5) e tangente nell' origine alla retta di equazione $ x-3y=0 $
Per ottenere la prima condizione ho usato la condizione di appartenenza di P alla circonferenza con la sostituzione.
Per ottenere la seconda ho sostituito le coordinate dell origine nella equazione della circonferenza.
Poiché i valori che mi servono per determinare sono 3 cioè le coordinate del ...
Salve a tutti, stavo provando a fare dei compiti di algebra, ma non riesco a capire dove sbaglio. L'esercizio è il seguente.
Dato il seguente sistema lineare su R:
$ { ( x+y-kz=2 ),( 2x-3y+2z=3 ),( 3x-2y+z=5 ),( x+y-2z=0 ):} $
chiede di studiare per quali valori di k il sistema è compatibile e di risolvere il sistema per i valori in cui k è determinato.
io ho provato a calcolare il rango e mi viene che i ranghi di entrambe le matrici, la completa e la incompleta sono 3 se k è diverso da 1 e se k è uguale a 6/10. ora ho trovato delle ...
Buondì, sto cercando di risolvere il seguente esercizio ma senza successo
Dimostrare che se ogni punto di uno spazio topologico di Hausdorff $X$ possiede un intorno compatto, allora $X$ è compattamente generato.
Tentativo:
Chiamo $\mathcal{A}$ la famiglia dei sottospazi compatti di $X$. Poiché ogni punto possiede un intorno compatto vale che
$ X = \bigcup \{ K | K \in \mathcal{A} \} $. Dunque la famiglia dei sottospazi compatti di $X$ ne forma un ...
Buongiorno,
Devo sostenere l'esame di Geometria 2 (abbiamo fatto principalmente topologia e verso la fine un accenno alle varietà differenziabili) ma sto avendo difficoltà con gli esercizi sul gruppo fondamentale. Il libro di riferimento del corso è Topologia di M. Manetti.
Tornando all'esercizio in oggetto, se alla sfera levo un solo punto l'esercizio è banale, S^2 -{p} è isomorfo a R^2 e quindi è contrattile.
I miei problemi iniziano quando se ne levano 2 (immagino che il caso n generico ...
Ho iniziato a fare degli esercizi su piani e trovo difficoltà su questo:
Data la retta r: $ {( x = 2z - 1) , (y=3z+1):} $
Determinare i piani perpendicolari a r e aventi distanza 3 dal punto P(1,0,1)
Non riesco ad impostare il problema
Grazie in anticipo
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