Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti. Ho un problema con un esercizio. Il testo dice : "Tra tutti i vettori ortogonali a $ u= -3j-k $ individuare quelli che formano un angolo di 45º con $ v=-j+k $ .
Ho considerato un generico vettore $ w=(x,y,z) $ e ho applicato la condizione di ortogonalità, cioè $ wu=0 $, determinando come vettori ortogonali a $ u $ quelli così fatti $ w=(0,y,-3y) $. Per quanto riguarda i vettori che formano un angolo di 45º ho applicato la definizione di ...
Buongiorno,
ho il seguente dubbio, a cui non trovo una soluzione: in generale, è vero che una curva $ \gamma$ è piana se e solo se la sua torsione è nulla?
Infatti, data la curva $\gamma: RR \setminus {0} \rarr RR^3, \gamma(t)=(t,1+1/t,1/t -t)$, mi viene richiesto:
(i) calcolarne la torsione $\tau(t)$
(ii)quanto verificato al punto precedente è sufficiente per concludere che la curva è piana? (In caso di risposta negativa, dire se essa è piana o meno).
La torsione risulta effettivamente ...
Fino ad ora non ho avuto problemi con applicazioni lineari ( endomorfismi ). In questo esercizio mi blocco al primo punto in cui mi si chiede di trovare Ker e dimIm
L'applicazione lineare seguente:
$L:R^2->R^3$
$L(x,y)=(3x+2y,x-y,x+y)$
Ora io mi trovo la matrice associata rispetto alla base canonica
$( (3,2),(1,-1),(1,1) ) $
E per calcolare dim ImL mi calcolo il rango che necessariamente deve essere minore o uguale di 2.
Invece il risultato è dimImL= 3
Ho il timore di scrivere non correttamente la ...
Dati i vettori $ bar(u)=[ ( 1 ),( -2 ) ],bar(v)= [ ( -3 ),( 6 ) ] , bar(z)=[ ( 5 ),( 4 ) ], bar(t)=[ ( -5 ),( 2 ) ] $:
1) lo spazio vettoriale generato dai vettori è $ V={bar(y)inR^2:bar(y)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( -3 ),( 6 )]+delta[ ( 5 ),( 4 ) ]+gamma[ ( -5 ),( 2 ) ], alpha,beta,delta,gammainR} $ .
2) un sottospazio vettoriale generato dai vettori è $ S={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( -3 ),( 6 ) ]+beta[ ( 5 ),( 4 )], alpha,beta,gammainR} $ , ma può anche essere:
- $ Q={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 5 ),( 4 ) ]+beta[ ( -5 ),( 2 )], alpha,beta,inR} $,
- $ W={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( 5 ),( 4 )], alpha,beta,inR} $,
- $ G={bar(x)inR^2:bar(x)=alpha[ ( 1 ),( -2 ) ]+beta[ ( -5 ),( 2 )], alpha,beta,inR} $.
3) una base di $S$ è ${[ ( -3 ),( 6 )];[ ( 5 ),( 4 )]}$, una base di $Q$ è ${[ ( 5 ),( 4 )];[ ( -5 ),( 2 )]}$ e via dicendo.
Salve,dopo aver risolto uno degli esercizi del libro,ho pensato di continuare a fare esercizi,giusto per essere sicuro di aver capito bene la teoria;ma il quinto esercizio mi ha fatto sorgere qualche dubbio,circa le coperture di un insieme;se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi?
L'esercizio è questo:
"Siano \( E=(0,1) \) e \( E_n=(1/n,1-1/n) \).
Dimostrare che
\( \cup_{n=3}^{\infty}E_n=E \) e quindi che \( \{E_n\}_{n\geq 3} \) è una copertura di $E$,ma che non ...
Studiando gli omomorfismi in omologia cellulare si fa sempre uso della nozione di grado di un'applicazione tra sfere; non mi è mai stato dimostrato però che tale concetto ha una definizione ben posta. A parte nel caso della circonferenza che è abbastanza semplice da trattare, nel caso generale non riesco a dimostrare che le applicazioni tra sfere si comportano "come dei rivestimenti" per poter definire il grado come $ #h^(-1)(q) $ .
Qualcuno può aiutarmi dimostrando questo fatto o ...
Ciao a tutti, stavo facendo questo esercizio e vorrei delle conferme da persone più esperte di me...
Siano X ed Y due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale Vn(K) di dimensione n su un campo K
e siano \(\displaystyle |X| = m \) e \(\displaystyle |Y| = t \) . Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.
Se \(\displaystyle Y\) $sube$ \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle X \) è linearmente indipendente allora \(\displaystyle Y \)
è linearmente ...
Ciao
Ho svolto questo esercizio e volevo sapere se fosse un modo ottimale di risolverlo, o se ci fossero metodi migliori.
sia $A^3(RR)$ lo spazio affine numerico tridimensionale con riferimento cartesiano e base canonica.
date le rette $r: {(y-1=0),(x-z-3=0):}$ e $s: {(2x-y-1=0),(z=0):}$
Determinare la retta passante per l'origine complanare a $r$ e a $s$.
Allora io ho fatto questo ragionamento:
Intanto trovo i piani contententi le due rette e passanti per ...
Buongiorno a tutti. Varie volte mi ritrovo con il risolvere sistemi lineari con 4/5 incognite, per la risoluzione di problemi di meccanica.. Purtroppo conosco solo il metodo di sostituzione. Mi complica molto i calcoli, facendomi venir fuori un'immensità di termini, con un alta probabilità di sbaglio.. Sapreste indicarmi come comportarmi? ci sono dei metodi di riduzione applicabili? Sicuramente ci sarete passati prima di me da Fisica 1 .
Vi ringrazio anticipatamente e buona domenica
Buonasera! Riporto qui questo esercizio sui prodotti scalari:
Sia $(V,phi)$ uno spazio euclideo di dimensione $n$ e sia $psi$ un altro prodotto scalare su V.
Data $C$ una base di $V$, sia $P_(C) in RR[t]$ il polinomio dato da $P_(C)=det(B-tA)$, dove $A$
è la matrice di $phi$ nella base $C$ e $B$ è la matrice di $psi$ nella base $C$
a)Dimostrare che ...
Ho provato a battere al computer le dimostrazioni della terza e quarta proprietà del teorema di hurwitz nel tentativo di provare a riordinare idee ed appunti e riuscire così a estrarne concetti comprensibili, ma con risultati mediocri.
Spero in un confronto con voi per risolvere i diversi punti oscuri.
Buonasera a tutti ,
risolvendo esercizi sulla forma canonica delle coniche, mi è sorto un dubbio. Quando vado a trovare la matrice ortogonale per la rotazione della conica, posso scrivere sia la matrice che fa compiere una rotazione oraria che quella antioraria. Dunque la conica iniziale si troverà con gli assi paralleli o all'asse $x$ o all'asse $y$. Quindi è indifferente se la scrivo in un modo o nell'altro??
Per farvi capire meglio di seguito farò un ...
Vorrei provare a costruire un omeomorfismo fra un iperpiano proiettivo $H$ di $P^{n}(K)$ e $P^{n-1}(K)$ e fra $P^{n} (K)\setminus H$ e $K^{n}$, per vedere se ho ben capito il ragionamento. Considero il caso $K= \mathbb{R}$.
Siano $[x_0,x_1, ..., x_n]$ gli elementi dello spazio proiettivo. Considero $H$ come l'iperpiano di equazione $x_0=0$. Allora gli elementi di $H$ sono tutti e soli quelli della forma $[0,x_1, ..., x_n]$. ...
Sia (X, d) uno spazio metrico, siano A e B sottoinsiemi non vuoti di X e sia x un elemento di X.
(1): se x è di frontiera per A intersecato B, allora x è di frontiera anche per A
(2): se x è di accomulazione per A intersecato B, allora x è di frontiera anche per A.
Partiamo dal secondo punto (2):
Se x è un punto di accomulazione per A vuol dire che x appartiene ad A oppure è di frontiera per A (a prescindere che la frontiera appartenga oppure non ad A). Quindi la (2) è vera (OK)
Per il punto ...
Salve a tutti, ho dei problemi nel dimostrare che i gruppi di omologia cellulare $ H_n^(CW)(X) $ non dipendono dalla struttura di CW-complesso definita su $ X $ .
L'idea era quella di approssimare l'identità con una funzione cellulare che in omologia definirebbe $(id_X)_(**)=id_(H_n^(CW)(x))$ . Il problema, quindi, diventa dimostrare che l'identità è sempre approssimabile con una funzione cellulare (cioè trovo sempre un sottocomplesso sul quale l'identità è cellulare) visto che non è detto ...
Salve a tutti, sto svolgendo questo esercizio e non mi è chiaro il ragionamento della soluzione.
Sia $V$ il sottospazio di $R^4$ generato da $ { (1 0 1 1)^T,(2 1 0 − 1)^T ,(1 1 − 1 − 2)^T} $
i. Determinare la dimensione ed una base di $V$ .
Fin qui ci sono, una possibile base è $ v1 = (2 1 0 − 1)^T $ e $ v2 = (1 0 1 1)^T $ , con equazioni parametriche pari a
$ { ( x 1 = t + 2s ),( x 2 = s ),( x 3 = t ),( x 4 = t − s ):} $
iii. Determinare una base ortonormale di $ V^_|_ $
Qui il ...
Data la funzione lineare $f_alpha:R^3->R^3$ associata alla matrice $ A(alpha)=[ ( 3 , alpha , 5 ),( alpha , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 2 ) ] $ determina i valori di $alpha$ tali per cui $dim(Ker[f_alpha])=1$. Poi calcola, per ciascun valore di $alpha$ una base di $Ker[f_alpha]$ e $dim[Ker[f_alpha]$.
Per il teorema della nullità più rango ho che $dim(Im[f_alpha])=R(A_alpha)=2$, che per il minore $ | ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ è vero $ AA alphainR $ . Quindi una base dell'immagine è $ {[ ( alpha ),( 1 ),( 0 ) ];[ ( 5),( 1 ),( 2 ) ] } $, e per Roché-Capelli una base del nucleo è ...
Salve, sono bloccato su un esercizio perché non riesco a trovare una base ortonormale:
Sia V uno spazio vettoriale euclideo reale di dimensione 3 e B=($e_1$,$e_2$,$e_3$) una sua base ortonormale. Il coseno dell'angolo formato dai vettori u=3$e_1$+2$e_3$ e v=$e_1$ è ?
Ciao a tutti,
sto diventando matto su un problema (oramai sono piuttosto arrugginito) che riguarda delle misurazioni di un pezzo.
Sono state fatte delle misurazioni definendo un sistema di interassi (che possiamo considerare soltanto su un piano tralasciando la z) ed ho i risultati, ora quello che voglio fare è una simulazione che riguarda lo spostamento (rotazione e traslazione) della terna d'assi.
In pratica l'allineamento del pezzo viene fatta così:
- si definisce l'origine O su un ...
Ciao
Ho una domanda dal carattere del tutto teorico.
Il concetto di introduzione di 'spazio vettoriale' nasce quando vogliamo formalizzare il concetto di vettore geometrico e quindi nasce la struttura algebrica dello 'spazio vettoriale' con tutta la sua bella assiomatica.
Fino a quì però ancora è per me, non so se sia una cosa generale, il poter parlare di 'disegnare' tali insiemi. Anche perché bisogna prima poter parlare di lunghezze, angoli e quindi nasce la struttura di spazio euclideo che ...
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