Geometria e Algebra Lineare

Buongiorno a tutti, scusatemi la domanda banale. Per un esercizio di fisica, devo ricavare due incognite da un sistema di due equazioni. Il punto è che,generalmente dinnanzi a questo tipo di sistemi, trovo differenze di quadrati nella seconda equazioni, percui scomponendo i termini, dividendo membro a membro le due equazioni mi ritrovo con un'equazione di primo grado, che vado a sostituire in entrambe le due equazioni. In questo caso non posso applicare questo metodo.. Il sistema è questo: \( ...

Se prendo un toro ($S^1\timesS^1$) e gli tolgo un punto, lo spazio che ottengo che gruppo fondamentale avrà?

Salve, avrei bisogno di un aiuto su questo esercizio. Scrivere l'equazione della conica conoscendo questi dati: 1) la polare di P(1,0) è x+y-1 = 0 2) s: y +1 = 0 come diametro coniugato alla direzione u(1,2) 3) asse passante per P. Io ho pensato di farlo scrivendo un fascio. La mia idea di osservare che il polo di un diametro, essendo un punto improprio, definisce una direzione che è la direzione coniugata a d. Quindi se s: y+1 = 0 è un diametro coniugato alla direzione u(1,2) vuol dire che ...

Esempio pratico di applicazione lineare: considero f:R2→R2 tale che f(x,y)=(x+y,y) Se volessi vedere il grafico nel piano cartesiano di tali due funzioni?? E' possibile? Grazie

Buongiorno! Su $mathbb{R}$ sia data la seguente topologia: $tau = {(-infty , a), a<0} cup {(b, +infty) cup {0}, b>0}$ Sia $f: (mathbb{R}, tau) -> (mathbb{R}, tau) , f(x) = x^2$ Mi viene chiesto di dimostrare che sia continua. Non so come procedere. Fisso $V$ aperto di $(mathbb{R}, tau)$ voglio mostrare che $f^(-1) (V) in tau$ $f^(-1) (V) = {x|f(x) in V} = {x|x^2 in V}$ Come posso procedere?

Sia B={v1;v2;v3}, dove v1= $ ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , v2= $ ( ( 2 ),( 1 ),( -1 ) ) $ , v3= $ ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) $ . Si verifichi che B è una base di C3. Sia E={e1, e2, e3, e4} la base canonica di C4 e si consideri l'applicazione lineare f: C3 $ rarr $ C4 tale che: f(v1)= 2e1+e2+e4 f(v2)= e2-e3 f(v3)= e1-2e3+e4 1) Si trovi la matrice B associata a f rispetto alla base canonica sul dominio e sul codominio. 2) Si calcoli il rango di f. 3) Il vettore $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartiene all'immagine di f? Se sì, ...

Salve a tutti Guardando delle soluzioni di vecchi temi d'esame del mio professore mi sono imbattuto in questo esercizio dove avendo un cono: $x^2 + y^2 - (z-1)^2 = 0$ Si doveva vericare che esso è una quadrica di rotazione e trovarne il corrispettivo asse Questa è la soluzione che viene data: Cerchiamo gli autovalori della matrice associata ai termini di secondo grado dell'equazione del cono: $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$ Ovviamente essi sono 1 con molteplicità algebrica 2 e -1. L'esistenza di ...

Buon pomeriggio. In un esercizio, ho la seguente topologia: $tau = {A subset mathbb{R} | forall x in A cap mathbb{Z}, exists epsilon : (x-epsilon, x+epsilon) subset A}$ Mi viene chiesto di determinare l'interno di $mathbb{Z}$. Ho pensato che Int($mathbb{Z}$) $= emptyset$, in quanto so che Int($mathbb{Z}$) $ subset mathbb{Z}$ e in $mathbb{Z}$, essendo discreto, non troverò mai un sottoinsieme di $mathbb{R}$ contenente un disco aperto centrato in un intero. E' corretto? Il mio dubbio riguarda questa inclusione: ...

Buonasera a tutti! Volevo postare questo esercizio che mi sto portando dietro da un po di giorni... "Siano $n>=2$ un intero, $f$ un endomorfismo di $CC^n$ e $lambda$ un numero complesso. a)Mostrare che se esiste un intero $k>=2$ tale che $dim Ker(f-lambdaid)^k=k dim Ker(f-lambdaid)$, allora per ogni intero $h, 1<=h<=k, dim Ker(f-lambdaid)^h=h dim Ker(f-lambdaid)$ b)Nel caso in cui f sia nilpotente con indice di nilpotenza $s$, determinare tutte le possibili forme canoniche di Jordan per ...

Buonasera a tutti! Volevo chiedere un aiuto su questo esercizio sulle affinità "Si consideri in $RR^2$ dotato della struttura affine, la conica $C$ di equazione $x^2/4+y^2/9=1$. Dati $P,Q in C$, si dimostri che esiste un'affinità $f$ di $RR^2$ tale che $f(C)=C$ e $f(P)=Q$. Tale $f$ è lineare? Non saprei come iniziare...avevo pensato che la condizione di invarianza rispetto a f della conica diventi una ...

Salve, mi sto esercitando in vista dell'esame, una domanda chiede di dimostrare che due matrici simili hanno gli stessi autovalori e ok ne sono capace, poi però mi chiede "hanno anche autovettori uguali?" e a questa non so rispondere né dimostrarla, ho cercato su internet ma parlano solo di autoalori, qualcuno può aiuarmi?

Salve a tutti, sto avendo un problema con il testo di un compito che ha assegnato il mio professore di Algebra Lineare & Geometria: Siano Assegnati i seguenti vettori $\mathbb{R^3}$,$ v1=(1,0,1)$,$v2=(1,1,1)$,$v3=(0,1,1)$. Sia $f:$ $\mathbb{R^3} -> \mathbb{R^3}$ l'applicazione lineare definita, al variare del parametro reale h, mediante le assegnazioni $ f(v1)=(h,0,h)$ $ f(v2)=(h^2-4)v1+hv2$ $f(v3)=(h+2)^2 v2+hv3$ 1) studiare $f$ al variare del ...

Buongiorno, premetto che non so se dove sto scrivendo è la categoria giusta. Sono al Terzo anno di Matematica all' Univerisità e dovrei preparare una tesi di laurea triennale ma ciò che mi manca è un argomento. Quello che mi appassiona é l'Algebra e la Topologia, cosi quando sono andato a chiedere la Tesi al mio Professore di Geometria B lui mi ha proposto come argomento di tesina i gruppi di omotopia superiori. Ho cominciato a studiare l'argomento e mi piaceva ma ora sto cominciando a pensare ...

1) se $bar(u)= l[ ( 2 ),( 3 ),( 4 ) ] $ e $ bar(t)=k[ ( -2 ),( 0 ),( 1 ) ] $ si ortogonalizzano facendo $ bar(u)bar(v)=l\cdot k[ ( 2 ),( 3 ),( 4 ) ][ ( -2 ),( 0 ),( 1 ) ] =l\cdotk[-4+0+4]=0 $ come si ortogonalizzano due autovettori del tipo $ bar(v)=l[ ( a ),( b ),( c ) ]+ k[ ( d ),( e ),( f ) ] $ e $ bar(w)=r[ ( x ),( y ),( z ) ] $? E' giusto scrivere $ bar(u)bar(v)=(l+k)r[ [ ( a+d ),( b+e ),( c+f ) ] [ ( x ),( y ),( z ) ] ] =(l+k)r[(a+d)x+(b+e)y+(c+f)z] $ oppure devo studiarli separatamente, verificando prima $ (l\cdotr)[ ( a ),( b ),( c ) ][ ( x ),( y ),( z ) ] $ e poi $ (k\cdotr)[ ( d ),( e ),( f ) ][ ( x ),( y ),( z ) ] $? 2) se $bar(u)$ si normalizza come $ root()({::}4l^2+9l^2+16l^2 ) =1 ->root()(29l^2)=1->29l^2=1->{::}text(l)_(\ \ 1) =1/(root()29)->{::}text(u)_(\ \ 1)={::}text(l)_(\ \ 1)[ ( 2 ),( 3 ),( 4 ) ] $ come si normalizza un autovettore del tipo $ bar(v)=l[ ( a ),( b ),( c ) ]+ k[ ( d ),( e ),( f ) ] $ ? Devo normalizzare i due autovettori separatamente?

Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio che mi sta facendo alquanto penare Nello spazio topologico $(\mathbb{R},\tau_e)$, sia $X={x \in \mathbb{R}: x=\frac{p}{10^q}, p,q \in \mathbb{Z}}$ un suo sottoinsieme, dire se: (i) $X$ è aperto in $(\mathbb{R},\tau_e)$ e trovare il suo interno. (ii)$X$ è chiuso in $(\mathbb{R},\tau_e)$ e trovare la sua chiusura. (iii)$X$ è compatto. (iv)$X$ è connesso per archi in $(\mathbb{Q},\tau_e)$ L'insieme ...

Sia $M$ una varietà connessa, compatta e orientabile e $p \in M$. Voglio calcolare la coomologia di $M - \{p \}$. Uso Mayer-Vietoris e va tutto liscio, finché non arrivo al grado $n-1$. Sia $U \subset M$ tale che $p \in U$ e $U \cong \RR^n$, allora \(\displaystyle U \cap M \sim S^{n-1} \). Chiamo \(\displaystyle M^* = M - \{p\} \). [size=85] \(\displaystyle H^{p-1}(S^{n-1}) \rightarrow H^p(M) \rightarrow H^p(M^*) \oplus H^p(R^n) ...

Tempo fa mi serviva sapere se, data una funzione $f:[0,1]^2->RR$ separatamente continua (ovvero continua in ciascuna variabile tenendo fissa l'altra) ammettesse massimo (e minimo). NOTAZIONE: Data una funzione $f:A->B$ e $C\subB$, indico con $f|C$ la restrizione a $C$ della funzione; inoltre non so come mettere il simbolo giusto per il prodotto cartesiano, ho messo una x, ma non mi piace tanto. Ho riformulato il problema più in generale, che è ...

Salve a tutti, sto cercando di classificare una conica, descritta dalle equazioni $ H: {(x-1)^2 -y = 0;z=-x+2} $ . La soluzione dell'esercizio dice testualmente H è l’intersezione di un cilindro parabolico con direttrici parallele all’asse z e il piano $ x+z−2 = 0 $. La sua proiezione ortogonale sul piano $ z = 0 $ risulta essere la parabola di tale piano di equazione $ y = x^2 − 2x + 1 $, quindi anche H è una parabola. Non mi è chiaro come possa ricavare la proiezione ...

Salve! Volevo chiarire i miei dubbi su questo esercizio: "Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita e sia $f ∈ End(V )$ un endomorfismo tale che, detti $λ_1, . . . , λ_k ∈ C$ gli autovalori di $f$, si abbia per ogni $i = 1, . . . , k$ $dim Ker(f − λ_(i)id)^2 = 2 dim Ker(f − λ_(i)id).$ a)Dimostrare che il polinomio minimo di $f$ ha grado maggiore o uguale a $2k$. (b) Dimostrare che se il polinomio minimo di $f$ ha grado uguale a ...

Ciao Non ho capito una cosa, mi potreste aiutare? Sia $V$ un $K - s p a z i o$ vettoriale. Definisco $*:VtimesV->K$ definito come $v*w=|v||w|cos(theta)$ Ma non riesco a capire formalmente nè chi siano $|v|,|w|$ nè come si dimostri che si tratti di un prodotto scalare. So soltanto che per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz si ha; $arccos((v*w)/(||v||*||w||))=vartheta$ Quindi so solo che $v*w=||v||*||w||cos(vartheta)$ Ovvero che il prodotto scalare eguaglia quella quantità.