Matrice ortogonale
Ho la matrice A = $(((sqrt2)/2,1/2),(c,d))$ devo trovare i valori $c$ e $d$ tale che la matrice A sia ortogonale, io ho provato a fare cosi $A^tA=In$ dove $In$ è la matrice identità. Tuttavia ho provato anche a fare $A(A^t)=In$, ma mi vengono valori di $c$ e $d$ nel primo caso diversi dal secondo.
Ho anche la matrice B= $(((-sqrt3)/2,a),(1/2,b))$, provo lo stesso metodo ma sono sempre risultati strani....
$A^t$ è la matrice trasposta.
Ho anche la matrice B= $(((-sqrt3)/2,a),(1/2,b))$, provo lo stesso metodo ma sono sempre risultati strani....
$A^t$ è la matrice trasposta.
Risposte
uhmm anche io come te avrei verificato che $A A^T = I_2$ trovando così i valori dei parametri. nel primo secondo me però viene impossibile $AA c,d$, mi sembra infatti che moltiplicando la matrice con la trasposta ottengo in posizione 11 il valore $3/4 != 1$ e quindi mai potrà essere l'identità.
nel secondo invece che valori "strani" vengono? a me da un rapido conto che può risultare sbagliato vengono $a =1/2, b=sqrt3/2 ^^ a=-1/2 , b=-sqrt3/2$
nel secondo invece che valori "strani" vengono? a me da un rapido conto che può risultare sbagliato vengono $a =1/2, b=sqrt3/2 ^^ a=-1/2 , b=-sqrt3/2$
Mm per la matrice B mi vengono quei valori, ma non avevo controllato bene, quindi mi è venuto
Invece per la matrice A non esiste nessun valore di $c$ e $d$?
Invece per la matrice A non esiste nessun valore di $c$ e $d$?
"Lelouko":
Invece per la matrice A non esiste nessun valore di c e d?
io concluderei così si.
grazie mille!
Io invece l'avrei risolto cosi, diciamo in modo più intuitivo:
so che le matrici ortogonali $ 2*2 $ possono avere due forme rispettivamente:
$ ((cos(\alpha),-sin(\alpha)),(sin(\alpha),cos(\alpha))) $ o $ ((cos(\alpha),sin(\alpha)),(sin(\alpha),-cos(\alpha))) $
Si nota abbastanza facilmente che i valori che ti vengono dati nelle matrice sono coseni e seni di angoli fondamentali.
$cos(\pi-\pi/6)=-(root(2)3)/2$ e $sin(\pi-\pi/6)=1/2$ perciò ora "conosciamo l'angolo" della seconda matrice (perdonate l'abuso di termini).
Quindi, dato l'angolo $\alpha=\pi-\pi/6$ sono determinate due uniche matrici ortogonali, e per trovarle basta sostituire $\alpha$ nelle due forme che ho scritto sopra.
Se facciamo lo stesso ragionamento per la prima, vediamo che non esiste un angolo $\alpha$ tale che $cos(\alpha)=root(2)2/2$ e $+-sin(\alpha)=1/2$ perciò deduciamo che per la prima non ci sono valori dei parametri che la rendano ortogonale.
so che le matrici ortogonali $ 2*2 $ possono avere due forme rispettivamente:
$ ((cos(\alpha),-sin(\alpha)),(sin(\alpha),cos(\alpha))) $ o $ ((cos(\alpha),sin(\alpha)),(sin(\alpha),-cos(\alpha))) $
Si nota abbastanza facilmente che i valori che ti vengono dati nelle matrice sono coseni e seni di angoli fondamentali.
$cos(\pi-\pi/6)=-(root(2)3)/2$ e $sin(\pi-\pi/6)=1/2$ perciò ora "conosciamo l'angolo" della seconda matrice (perdonate l'abuso di termini).
Quindi, dato l'angolo $\alpha=\pi-\pi/6$ sono determinate due uniche matrici ortogonali, e per trovarle basta sostituire $\alpha$ nelle due forme che ho scritto sopra.
Se facciamo lo stesso ragionamento per la prima, vediamo che non esiste un angolo $\alpha$ tale che $cos(\alpha)=root(2)2/2$ e $+-sin(\alpha)=1/2$ perciò deduciamo che per la prima non ci sono valori dei parametri che la rendano ortogonale.
in effetti anche questo è un modo, ma credo che mi sarei complicata di più, anche perchè la trigonometria ed io non andiamo d'accordo
si è un metodo equivalente ma anche io concordo sul calcolare $AA^T=I_n$: si tratta semplicemente di svolgere un prodotto riga-colonna e di porre delle uguaglianze.
se non altro adesso abbiamo un'ulteriore conferma che la prima non è mai ortogonale.
se non altro adesso abbiamo un'ulteriore conferma che la prima non è mai ortogonale.
Certamente il metodo che avete utilizzato va benissimo! Avete applicato la definizione che è corretto. Però personalmente, preferisco i metodi di risoluzione senza calcoli, che reputo anche più eleganti. Con il metodo che ho proposto, basta guardare in faccia la matrice e un po di ragionamento per arrivare alla soluzione, invece di fare prodotti tra matrici e risolvere sistemi.
Mi sorge un dubbio... ovvero che quella matrice non possa essere ortogonale
Se fai $((1/sqrt2,1/2))((1/sqrt2),(1/2))$ dovrebbe venire $1$ ma così non è.
Se fai $((1/sqrt2,1/2))((1/sqrt2),(1/2))$ dovrebbe venire $1$ ma così non è.
Infatti la matrice A per nessun valore di $c$ e $d$ è ortogonale, perchè già dalla prima operazione si può vedere che viene un valore diverso da 1, è questa la risposta, anche perchè dopo che ho postato il topic, il professore di geometria a ricevimento mi ha detto che è cosi.
Ah ottimo.
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