Trovare applicazione lineare
Buongiorno,
avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Dati $V = {(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0}$ e $W = span{((1),(2),(3))}$
a) Trovare un'applicazione lineare $f:RR^3 -> RR^3$ t.c. $f(v) in W, AA v in V$ e $f(w) in V, AA w in W$
b) Dimostrare che l’insieme di tutte le applicazioni lineari $f:RR^3 -> RR^3$ che soddisfano le condizioni del punto precedente e uno spazio vettoriale, quindi determinarne la dimensione.
Dopo aver scritto $V = span{((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1))}$ ho pensato di porre semplicemente $f((-1),(1),(0)) = ((0),(0),(0))$ da qui ottengo $f((-1),(0),(1)) = ((1),(2),(3))$ e infine $f((1),(2),(3)) = ((-1),(1),(0))$ e mi sembra che questa applicazione soddisfi le condizioni.
Per il punto b) come faccio a scrivere l'insieme di tutte le applicazioni lineari,calcolarne la dimensione etc?
Grazie
avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Dati $V = {(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0}$ e $W = span{((1),(2),(3))}$
a) Trovare un'applicazione lineare $f:RR^3 -> RR^3$ t.c. $f(v) in W, AA v in V$ e $f(w) in V, AA w in W$
b) Dimostrare che l’insieme di tutte le applicazioni lineari $f:RR^3 -> RR^3$ che soddisfano le condizioni del punto precedente e uno spazio vettoriale, quindi determinarne la dimensione.
Dopo aver scritto $V = span{((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1))}$ ho pensato di porre semplicemente $f((-1),(1),(0)) = ((0),(0),(0))$ da qui ottengo $f((-1),(0),(1)) = ((1),(2),(3))$ e infine $f((1),(2),(3)) = ((-1),(1),(0))$ e mi sembra che questa applicazione soddisfi le condizioni.
Per il punto b) come faccio a scrivere l'insieme di tutte le applicazioni lineari,calcolarne la dimensione etc?
Grazie
Risposte
Il primo punto mi sembra corretto. Per il secondo, ipotizzo che non sia uno spazio vettoriale. Se lo fosse, dovrebbe essere un sottospazio dello spazio di tutte le applicazioni lineari(se questo è uno spazio xD) da $R^3$ a $R^3$, quindi, se chiamiamo $T$ lo spazio di tutte le funzioni che rispettano quei vincoli, per essere un sottospazio, $T$ deve soddisfare:
$1)$Per ogni $f_1,f_2\inT, (f_1+f_2)\inT$
$2)$Per ogni $f\inT$ e per ogni $c\inK, c*f\inT$ dove K è il campo, che dovrebbe essere $R$.
la 2) non è soddisfatta, infatti preso $c=0, c*f$ è la funzione nulla, che manda tutto in zero, ma questa funzione non appartiene a $T$. E non è neanche vero che la somma di due funzioni cosi fatte, rispetta la condizione, per questa bisogna trovare un controesempio. Comunque sono dubbioso, aspetto qualcuno che faccia luce sulla situazione
$1)$Per ogni $f_1,f_2\inT, (f_1+f_2)\inT$
$2)$Per ogni $f\inT$ e per ogni $c\inK, c*f\inT$ dove K è il campo, che dovrebbe essere $R$.
la 2) non è soddisfatta, infatti preso $c=0, c*f$ è la funzione nulla, che manda tutto in zero, ma questa funzione non appartiene a $T$. E non è neanche vero che la somma di due funzioni cosi fatte, rispetta la condizione, per questa bisogna trovare un controesempio. Comunque sono dubbioso, aspetto qualcuno che faccia luce sulla situazione
Perchè deve essere un sottospazio? E poi la funzione nulla mi sembra che soddisfi le condizioni. E direi che è rispettata anche la condizione 1) 
"RuCoLa":Se devi dimostrare che è uno spazio vettoriale, o dimostri che verifica gli 8 assiomi che definiscono uno spazio vettoriale, o ne verifichi 2 che sono quelli che deve soddisfare un sottospazio. E' molto piu comodo dimostrare che è un sottospazio.
Perchè deve essere un sottospazio? E direi che è rispettata anche la condizione 1)
Ora che ci riguardo la 2) mi sembra soddisfatta, cioè: $f(v)=0∈W,∀v∈V$ e $f(w)=0∈V,∀w∈W$ in quanto W e V sono sottospazi e quindi contengono 0. Ma la 1? Spiegami perchè è soddisfatta.
La 1) la giustificherei così: siano $f_1,f_2∈T, v in V, w in W$ allora $f_1(v) in W, f_2(v) in W$ e $(f_1 + f_2)(v) = (f_1(v) + f_2(v)) in W$. Stessa cosa con $(f_1+f_2)(w)$. Quindi $(f_1 + f_2) in T$.
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