Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve,dopo che ho ritrovato i tensori un po' ovunque in matematica e in fisica,mi è venuto un dubbio:
"Se un tensore di rango 0 lo posso considerare come uno scalare,se è di rango 1 posso considerarlo come un vettore, se è di rango 2 lo posso considerare come matrice(che vengono usate ampiamente per indicare sistemi di equazioni),dal rango 3 in su come posso considerarli da un punto di vista si matematico che fisico e quando vengono utilizzati?"
Se non vi reca disturbo,potreste rispondere ...
la retta che passa per l'origine y=x è uno spazio vettoriale, e si può scrivere come:
f: R->R
x->f(x)
e fin qui spero sia tutto giusto...
anche il piano x+y+z=0 è uno spazio vettoriale, ma si può scrivere come una funzione?
L'unica cosa che mi viene in mente di fare è raccogliere una variabile, ma dopo che ho x=-y-z non saprei
Ho una domanda un po' stupida da fare: spesso per mostrare che due spazi topologici non sono omeomorfi tolgo in modo arbitrario un numero finito di punti dai due spazi e mostro che c'è qualche contraddizione (per esempio riguardo le componenti connesse). Suppongo che questa cosa possa farla perché se due spazi sono omeomorfi lo sono ancora dopo aver tolto un punto dai due spazi, la cosa mi torna rispetto all'intepretazione intuitiva di omeomorfismo che ho. Ho provato a dimostrarlo in modo ...
Come si dimostra la continuità di una trasformazione di Möbius \(\displaystyle T(z)=\frac{az+b}{cz+d} \) da \(\displaystyle \mathbb{C} \cup \infty \) in se stesso?
Come suggerimento mi viene detto di usare l´omeomorfismo con \(\displaystyle S^2 \) dato dalla proiezione stereografica e i limiti \(\displaystyle \lim_{z\rightarrow \frac{-d}{c}} |T(z)|= \infty \) e \(\displaystyle \lim_{|z|\rightarrow \infty} T(z)= \frac{a}{c} \).
Sinceramente non so proprio da dove cominciare, perché non ...
Dati dei vettori come faccio a stabilire la dimensione del sottospazio?
Dire inoltre se sono basi di tale sottospazio.
Mi potreste spiegare i passaggi per risolvere esercizio di questo genere?
Grazie mille!
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
Buonasera ragazzi. Ho questo esercizio che non so come risolvere
Dato questo sistema $ { ( x+2y+z=0 ),( x+2y-z=0 ),( 2x+4y+z=0 ):} $ devo trovare le soluzione non banale che soddisfa anche il seguente vincolo non lineare $y-xy=2z$.
Io ho provato ponendo $z=(y-xy)/2$ ma non riesco ad andare avanti nella risoluzione del sistema.
P.S
Per ora tutti gli altri sistemi lineari li ho risolti applicando il metodo di gauss.
Devo calcolare l'equazione di una retta che passa per il punto $ P(1,sqrt(2),0) $ e ortogonale alla retta di equazione $ { ( x+2sqrt(2)y=1 ),( 2y-z=0 ):} $
So che affinché due rette ax+by+c=0 e a'x+b'y+c'=0 siano ortogonali dev'essere aa'+bb'=0. Ma non riesco a sfruttare questa condizione. Il passaggio per il punto dato non è un problema. Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.
Buonasera!
Su un altro sito davano questo esempio per spiegare come trovare quali vettori sono fra loro indipendenti sapendo che almeno due sono dipendenti.
I vettori sono messi per colonne sotto forma di matrice:
$u= (2,-1,1), v=(3,1,2), w=(1,-3,0)$
Con il sistema ho visto che ad esempio gli scalari $(-2,1,1)$ annullano la combinazione lineare della definizione di vettori linearmente indipendenti, perciò so che sono dipendenti. Inoltre il determinante è 0.
Il problema è che dopo dice che avendo tutti i ...
Salve,
Mi sfugge qualcosa e non riesco a comprendere queste affermazioni:
Dato una spazio vettoriale V, sia W un suo sottospazio
W=span{w1,..,wk}
B={v1,...vn} base di W
posso scrivere ogni elemento di W come combinazione lineare degli elementi della base B.
Dalle combinazioni lineari estrapolo i coefficienti ed ottengo la matrice dei coefficienti "A".
I miei dubbi sono i seguenti:
Le righe della matrice ridotta sono Linearmente indipendenti. Perché? Quale teorema me lo assicura??
La ...
C'è differenza tra coseni direttori e parametri direttori? Se sì, quale?
Secondo il libro i coseni direttori sono particolari parametri direttori, ma dalla definizione che viene proposta ("Si dicono coseni direttori di una retta r le coordinate l,m,n di un versore parallelo a r") non riesco a cogliere la differenza. Grazie in anticipo per l'aiuto.
Ciao a tutti, avrei bisogno di delucidazioni sul seguente esercizio:
Calcolare la lunghezza della proiezione del vettore $v = (-1, 0,-1)$ sulla retta $\{(x + y + z = 0),(x + 3z -1 = 0):}$
Io pensavo di procedere in questo modo:
$I$ Trovare il vettore direzione$(u)$della retta
$II$Trovare la lunghezza della proiezione tramite la formula
$||v||.cos(\theta) = (u.v)/||u||$, dove $||v||.cos(\theta)$ è la lunghezza della proiezione di v su u
Lo svolgimento è corretto?
Grazie in anticipo!
We
È una domanda abbastanza breve:
Se ho due spazi vettoriali la cui intersezione su $CC$ è non nulla, considerando i medesimi su $RR$, può capitare che l'Intersezione venga nulla?
In particolare tra uno spazio dato per caratteristica e uno per generatori.
Ciao,
ho questo quesito: Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema Ax = b ammette soluzione. In tali casi determinare le soluzioni.
Matrice $ A $ =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2t+1
\end{pmatrix}
Matrice $ b $ =
\begin{pmatrix}
2\\
1 \\
5
\end{pmatrix}
La soluzione trova il determinante della matrice $A$, determinando poi per quali valori di $ t $ è diverso da 0; svolgendo i calcoli viene ...
Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio di Algebra che inizialmente si presentava abbastanza semplice (magari lo è effettivamente). Tuttavia mi sono arenato su sull'ultimo punto dell'esercizo, che cito:
Nello spazio vettoriale V = R3[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o
uguale a 3, siano $p1(x) = x$, $p2(x) = x − x^2 − x^3$ e $S =< p1(x), p2(x) > .$
Si consideri poi il sottospazio $S' = {p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 | p(−1) = p(0) = 0}.$
a) Si determini una base di S ∩ S'.
b) Si costruisca una base di S + S' che ...
Ho tentato di dimostrare autonomamente questo risultato che non trovo da nessuna parte.
Sia $w_1,...,w_d$ una catena di autovettori generalizzati relativi a $lambda$
Tali che $w_k=(A-lambdaI_n)^(d-k)v forallk=1,...,d,Aw_1=lambdaw_1$ Allora:
$sum_(j=1)^(d)lambda_jw_j=0<=>lambdaj=0forallj=1,...,d$
Ora $sum_(j=1)^(d)lambda_jw_j=vsum_(j=1)^(d)lambda_j(A-lambdaI_n)^(d-j)=0$
Prendo $v ne0_v$ segue deve essere $0=sum_(j=1)^(d)lambda_j(A-lambdaI_n)^(d-j)$
Ovvero $lambda_1(A-lambda)^(d-1)+...+lambda_(d-1)(A-lambda)+lambda_d=0$
Ovviamente tutte queste potenze di matrici sono non nulle poiché $d=min{n inNN:(A-lambdaI_n)^nv=0}$
Supponiamo per assurdo che sia $v_dne0$
Allora ...
Ho un dubbio su quest'esercizio!
Vorrei sapere se è giusto il procedimento che ho usato!
si stabilisca per quali valori del parametro k le seguenti matrici formano una base di M2( $ RR $ ):
$ ( ( k , 0 ),( 1 , 1 ) ) $ , $ ( ( 0 , k + 3 ),( 4 , 1 ) ) $ , $ ( ( - 2 , k + 2 ),( 1 , - k ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Ho proceduto nel seguente modo:
Ho messo tutto in una "grande" matrice e ne ho ricavato il determinante che è:
$ k^2 + k - 6 = 0 $
ho ricavato i valori di k:
k = -3 ; k = 2
è giusto?
grazie a quanti mi ...
Buongiorno, sono alle prese con un esercizio di algebra, dal quale non riesco proprio ad uscire perchè i risultati non combaciano secondo me. Questo è il testo:
Dato U=[(5,1,7,0)',(1,0,0,1)',(0,1,2,6)'] e W=[(1,0,2,1)',(1,0,1,1)'] devo trovare una base di U, W, U+W, U(intersecato)W.
Ora, U e W sono composti da vettori linearmente indipendenti, quindi già quelle sono le basi(?). Il problema ce l'ho sul U(intersecato)W. Ho fatto x*u1+y*u2+z*u3=h*w1+k*w2, ma dal sistema non ottengo quello che ...
Buonasera,
sto seguendo un corso di geometria differenziale e stiamo trattando i tensori.
Dopo aver enunciato con una proposizione la proprietà universale per i prodotti tensoriali abbiamo ricevuto il seguente corollario privo di dimostrazione perchè "immediato", ma per me non è così immediato.
\(\displaystyle Siano\; K \; un\; campo, V,W\; K-spazi\; vettoriali, allora\; \forall\; U \; spazio\; vettoriale \; \exists\; un\; isomorfismo\; L_{K}^{2}(V,W;U) \simeq Hom_{K}(V\otimes W; U)\)
Qualcuno ...
Ciao a tutti,
ho la seguente matrice e devo calcolarne gli autovalori.
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 6 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
Il mio procedimento è questo; la risolvo a gradini tramite metodo di gauss:
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
dato che si tratta di una triangolare superiore, gli autovalori sono i valori della diagonale, dunque $ 1, 6, 0 $, la soluzione del testo dà invece $ 1, 6, 2 $.
Cosa ho sbagliato??
Grazie
Buongiorno a tutti
Vorrei sapere come si trova la triangolare superiore in questo caso:
$ ((1,0,1,1),(0,0,2,-1),(1,3,1,0)) $
La riga 3 diventerebbe $(0,3,0,-1)$ ma il problema è che non ho pivot nella seconda colonna, e non posso applicare la formuletta piochè avrei $(0,3,0,-1) - 3/0(1,0,1,1)$
Grazie
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