Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera, sto studiando l'argomento del titolo, e trovo difficoltà nel comprendere a pieno come portare a termine il metodo di Gauss nella sua variante con pivoting totale. Per farvi capire, vi propongo questo esempio di esercizio che ho tentato di svolgere.
Determina le soluzioni del sistema lineare:
\(\quad\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 6 \\ 10 & 5 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\3\\ -4 \end{pmatrix}\quad\)
utilizzando il metodo di ...
Salve ragazzi
Sia h una relazione, a h b $ hArr $ a,b hanno un divisore comune verificare che la relazione non è ne d'ordine ne di equivalenza ma verifica la proprietà simmetrica.
Non riesco proprio a verificare tale simmetria, ho fatto dei passaggi ma non so se vadano bene:
Se a,b hanno divisore comune:
$ a/j=uin N, b/j=vin N $ ora devo dimostrare che a h b $ rArr $ b h a, ipotizzando quindi che $ a/c=uin N, b/c=vin N $
Se: $ a/(c*u)=1in N, b/(c*v)=1in N $ $ rarr a/(c*u)*(c*v)/b=1rarr a/u*v/b=1rarr a/u=b/v $ ma:
$ a/u=c=j $ e ...
Un esercizio del Marco Abate chiede di trovare due sottoinsiemi di $ \mathbb{R^2} $:
1) tale che sia chiuso rispetto alla somma ma non rispetto al prodotto per scalari
2) tale che sia chiuso rispetto al prodotto per scalari ma non rispetto alla somma
Prima di tutto, non so se esista una via più formale di procedere rispetto all'indovinarli, quindi per ora ne ho trovato solo uno che penso essere chiuso rispetto alla somma ma non rispetto al prodotto per scalari (ma non sono sicuro visto che ...
Come si risolve il seguente sistema ?
$ { ( x^4-y^4=8 ),( x^3y+xy^3=4sqrt3 ):} $
Ciao a tutti, ho un grosso dubbio.
Parlando di spazi vettoriali duali, il mio professore (di meccanica analitica) indica un funzionale lineare $\eta$ così:
\[ \eta \in V^* \quad \eta : V \rightarrow R \]
\[ v \mapsto \eta(v) = \]
e fin qui ci sono. Poi però, simmetricamente, indica un elemento $v$ dello spazio vettoriale $V$ in questo modo:
\[ v \in V \quad v : V^* \rightarrow R \]
\[ \eta \mapsto v(\eta) = \]
e questo non lo capisco: ...
Ragazzi ho problemi con la risoluzione di quest'esercizio, in particolare con la seconda richiesta:
Quale dei seguenti sottoinsiemi di R3 è un sottospazio vettoriale? E vero che ` W ⊆ X?
X = {α(2, 1, −1) + β(1, 1, 0) : α, β ∈ R}
Y = {(1, 0, 1) + h(0, 1, 1) : h ∈ R}
W = {(x, y, z) ∈ R3: x − y + z = x + 2y = 0}.
Per la prima richiesta penso basti far vedere quali sottoinsiemi sono linearmente chiusi, ma invece per la seconda? Devo far vedere che ogni vettore di W appartiene anche a X (penso), ...
Premetto la definizione di sistema fondamentale di intorni che ho: un sistema fondamentale di intorni di un punto $x \in (X, \tau)$ spazio topologico e' un insieme $U(x)$ di intorni di $x$ tale che $\forall U \in U(x), \exists V \in U(x)$ si ha $V \sub U$.
Con intorno di un punto intendo un sottoinsieme dello spazio contenente un aperto che contiene il punto. Osservo anche che la definizione di sistema fondamentale di intorni che ho e' equivalente e a quella di sistema fondamentale di ...
Ciao a tutti, mi date una mano con il seguente esercizio?
Stabilire se l'insieme $ X={(x,y):xy=0} $ è o meno un sottospazio di $ R^2 $
Se prendiamo un vettore (a,0) o (0,b) con a,b reali l'equazione è soddisfatta, ma se prendiamo qualsiasi vettore del tipo (a,b) l'equazione non è più soddisfatta, quindi non è un sottospazio?
Oppure è un sottospazio formato solo dal vettore nullo?
Si dimostri che \(\displaystyle B \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \)
\(\displaystyle B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\} \).
Vi riporto il mio svolgimento.
Occorre verificare le seguenti proprietà:
1) \(\displaystyle Span(B) \)=\(\displaystyle \mathbb{R^3} \)
2) I vettori di \(\displaystyle B \) siano linearmente indipendenti.
Per quanto riguarda la seconda proprietà, si vede ad occhio che la matrice associata a \(\displaystyle B \) risulta essere ridotta a scala, quindi le righe ...
Ciao a tutti, mi aiutate a capire come risolvere questo esercizio?
Si dimostri che, fissata una matrice $ A in M_(m,n)(R) $ , l'insieme $ S={X in R^n : AX=0 } $ è un sottospazio di $ R^n $ di dimensione $ n - rho(A) $
Buonasera,
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale e sia \(\displaystyle S \) un sottoinsieme di \(\displaystyle V \).
Mostrare che l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di \(\displaystyle S \) è un sottospazio di \(\displaystyle V \), ed è il più piccolo sottospazio di \(\displaystyle V \) che contenga \(\displaystyle S \).
La prima parte del testo la riesco a fare, invece sulla seconda sono un po' impacciato. La mia idea è quella di sfruttare che lo \(\displaystyle ...
Sia V uno spazio vettoriale su Q e siano V = {v1,...,v5} e V*= {v*1,...,v*5} una base di V e la rispettiva base duale di V*.
Dati w = v1 −2v2 +v4 +2v5 e v* = v*2 +2v*3 −v*4 +v*5, si dica se l’applicazione lineare φ = idV − w ⊗ v* `e invertibile e si determini eventualmente la matrice (αV,V)((φ−1)).
Nella soluzione compare φ−1 = idv +[(1/(1 - v*⊗w))w ⊗ v∗], come posso ricavarla?
Ho una domanda, nel piano complesso quando eseguo l'inversione circolare di rette non passanti per l'origine esse si trasformano in circonferenze che passano per l'origine. E fin qui tutto bene.
Se ho tre rette di questo che si intersecano formando un triangolo, quando eseguo l'inversione ottengo tre circonferenze. Ma come capisco se i punti interni al triangolo sono stati riflessi dentro le circonferenze o fuori?
Ragazzi salve, stavo vedendo un paio di video del mitico ing. Cerroni, in pratica ho visto che lui a volte ad "occhio" riesce a vedere che applicando Laplace ad una determinata colonna/riga, che è composta ad esempio da tutti 0 ed un 1 al terzo elemento, il det = 0 e quindi si va direttamente a considerare il minore successivo, risparmiando così un'applicazione del metodo stesso, riducendo quindi tempo e sforzo, ora la mia domanda è, come si fa a capire questa cosa?
Salve, avrei bisogno del vostro aiuto per un esercizio. E' dato f:R^4-->R^4 l' endomorfismo dato da: f(x,y,z,t)=(-2x-10t, 5y-7z, 2y-4z, x+5t). Devo determinare una base e dimensione del ker e dell' Immagine. Fin qui ci siamo, la base dell' IM mi viene ((-2,0,0,-10)(0,5,-7,0)(0,2,-4,0)). Ora dato U=[(x,y,z,t):x-7z-3t=0) determinare una base e dimensione dei sottospazi U+IM e U(intersezione)IM. Ho trovato una base di U ponendo x=7z+3t poi y=c,z=a,t=b. Così mi trovo una base di U= ...
Buona sera ragazzi, volevo chiedervi come faccio a trovare la retta t ortogonale sia ad r e s(sono incidenti in P' ) che sono complanari . Tale retta t deve passare per un punto P non appartenente né ad r e né ad s!!
Io avevo pensato all'intersezione di un piano π ortogonale ad r e passante per P con il piano π' ortogonale ad s e passante sempre per P! Se potreste darmi un input, ve ne sarei molto grato
Sia V uno spazio vettoriale su Q, di dimensione 5
V = (v1..v5) base
Si ha un endomorfismo (phi):V --- > V che rispetta queste condizioni:
phi(v1-3(v3)) = 3(v2)-2(v4) = (1/2)phi(3(v2)-2(v4))
phi(2(v3)-v5) = v2 - v4 = phi(v4 - v2)
phi(v1 - v5) = v5 - v1
Mi chiede se phi è diagonalizzabile e di determinare una base di autovettori W = (w1..w5) di V scrivendo le coordinate nella base V.
Devo per forza ricavarmi la matrice per dire se è diagonalizzabile o c'è un modo più veloce?
Perché il mio ...
Ciao a tutti,trascrivo il testo dell'esercizio.
Si consideri un'applicazione lineare $ L:R2⟶R2 $ con nucleo uguale al sottospazio $ [ ( x ),( y ) ] $ | x+y=0 e tale che L $ [ ( 1 ),( 1) ] $ = $ [ ( 1 ),( 1) ] $ .
-si trovino gli autovalori di L
- Si trovi la matrice M di L rispetto alla base standard di R2
La mia vera difficoltà non sta nel trovare gli autovalori ma sta nel trovare L e di seguito la relativa M rispetto alla base $ [ ( 1 , 0 ),(0 , 1 ) ] $ . Dal testo mi sembra di capire di avere un ...
Ricerca del polimnomio caratteristico, autovettori e autospazi associati di un applicazione lineare.
Salve ragazzi! Data la seguente applicazione lineare $ f:(x,y,z)∈ R^3 rarr (-9x+14y-7z,-7x+12y-7z,-2kz) $ , posto k=1 si determini il polnomio caratteristico, gli autovalori e gli autospazzi ad essi associati. Per risolverlo ho posto k=1 e ne viene che la terza componente è -2z, ho poi fatto la matrice immagine sulle basi canoniche e utilizzato la formula per calcolare il polinomio caratteristico $ p(x)=det(A-I3x) $ . Mi sono bloccato con i conti e le formule e non riesco ad uscirne (per quanto riguarda il calcolo del ...
Salve a tutti, voglio un parere su questo esercizio :
Sia $(V, T, ⊥)$ uno spazio vettoriale ($T$ e l’operazione interna, $⊥$ quella esterna). Siano $x$ e $x'$ vettori fissati in $V$ tali che comunque si prenda un $y \in V$ risulti $xTy= y$ e $x'Ty = y$. E vero o no che $x = x'$? (Dimostrare quanto affermato.)
Io ho fatto così :
L'operazione di somma è un'operazione interna e ...
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