Analisi superiore

Salve a tutti, di questa funzione mi viene richiesto di calcolare il residuo in z=0 $ f(z)= (e^(1/z)-e^z)/(z^2-1) $ . MI è venuto in mente che posso sviluppare gli esponenziali ed il denominatore in serie di potenze (con lo sviluppo dell'esponenziale in 0 e con la serie geometrica di ragione -z^2). Però ora non saprei come proseguire: ho provato ad usare la formula per il prodotto di due sommatorie, ma senza risultati. Grazie

Buongiorno, avrei un dubbio sul criterio per dire se una serie di Fourier converge o meno. Fino adesso ho utilizzato i seguenti criteri: La serie di Fourier converge puntualmente a f in I, se: 1) f é continua e monotona in I 2) f é continua e regolare a tratti in I Queste due ipotesi non possono andare in contrasto? Per esempio, se ho una funzione che é continua e monotona ma che non é regolare a tratti (per esempio ha una cuspide) la serie converge puntualmente a f?

Ciao a tutti, ho la seguente serie in campo complesso: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} $$ Il raggio di convergenza dovrebbe essere $R=1$. Come posso trovare esempi di punti sulla frontiera ($z$ tali per cui $\abs(z)=1$) dove la serie converge puntualmente?

Sto studiano la serie di Fourier, e svolgendo i vari passaggi per dimostrare come ottenere i coefficienti si arriva a dover risolvere un integrale complesso che purtroppo non riesco a risolvere. In pratica è quello della potenza mutua in cui se k=n fa 1 e se k è diverso da n fa 0. Ma non riesco a risolverlo. [size=150]$1/(2pi) int_(0)^(2pi) e^(2jpi(k-n)ft)dt $[/size] Se pongo k diverso da n come fa a fare 0 questo integrale?

Buongiorno, studiando le serie di Fourier ho letto che ogni funzione periodica limitata e a quadrato integrabile nel suo periodo ammette una serie di fourier che converge quadraticamente ad essa. Ma una funzione limitata in un intervallo limitato (quale il periodo) non é automaticamente a quadrato integrabile? In caso contrario mi potreste fare qualche esempio?

Buongiorno, ho alcune perplessità sullo svolgimento del seguente esercizio, di cui riporto testo e mio svolgimento. Esercizio Sia \( f \in L^1 ([0,2]) \), sia \(\psi : [0,1] \to [0,1] \) una funzione e sia \( F : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da \[ F(t) = \int_0^1 f(x+ \psi(t))dx \quad \quad \text{per ogni } t \in [0,1] \] Si dimostri che (a) se $\psi$ è continua allora $F$ è continua; (b) se \( \psi \in C^1([0,1])\) e $\psi'>0$ per ogni ...

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in quest'esercizio sulla valutazione dell'olomorfia di: $ |i*cosh(z)| $ riporto, quindi, lo svolgimento che ho seguito: in primis ho riscritto la funzione come $|i*(cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y))|$ ponendo quindi in evidenza parte reale ed immaginaria della stessa per verificare più agevolmente le condizioni di Cauchy-Riemann...svolgendo le moltiplicazioni... $ |icos(y)cosh(x)-sinh(x)sin(y)|$ a questo punto ho applicato la definizione del modulo come $sqrt [(Re)^2+(Im)^2]$ qui ho concluso che la ...

Salve a tutti. Vorrei calcolare il seguente integrale $ I=int_(0)^(oo ) x^(1/3) /(x^2-4x+8) dx $ . Con x indicherò un numero reale, mentre con z complesso. Ho pensato di considerare la funzione $ f(z)=z^(1/3)/(z^2+4z+8) $ e di calcolare il suo integrale lungo una curva illimitata che raggiri il taglio (che ho posto da meno infinito a 0). Poichè il contributo sulla semicirconferenza infinitesima centrata in zero è nullo, risulta che: $ oint_(c) z^(1/3)/(z^2+4z+8)= 2 pii(Res(-2+2i)+Res(-2-2i)) $ $ oint_(c) z^(1/3)/(z^2+4z+8)= int_(-oo )^(0) f(z) dz+ int_(0 )^(-oo) f(z) dz $ $ int_(-oo )^(0) f(z) dz =- int_(+oo)^(0) (e^(i pi/3) x^(1/3)) /(x^2-4x+8) dx $ , avendo posto ...

Salve ragazzi stavo svolgendo questo integrale di frontiera con il metodoto dei residui come richiesto da traccia: $\int_(delD) ((z-1)(z-1-j))/(e^(2pi (z-1)^2) -1) dz $ dove D è il rettangolo di vertici ${(-1-j/2);(-1+4/5j);(1-j/2);(1+4/5j)}$ Vado a calcolare i poli ottendo $e^(2pi (z-1)^2) -1=0 => z=1 pm sqrt(j k)$ con $k=0,1,2...$ $z_0 =1$ polo signolo che va escluso visto cheannulla il numeratore e inoltre si trova sulla frontiera; $z_1 = 1 pm sqrt(i) $ che non appartiene a D in nessuno dei due casi $z_2= 1 pm (1+i) $ che non appartiene... Quindi ho optato per ...

Salve a tutti! Leggendo un libro viene spesso utilizzata questa notazione. Faccio un esempio tratto da una parte di un teorema (di Morrey): "Sia $p>N$, per ogni $u in W^{1,p}(RR^n)$, abbiamo $|u(x)-u(y)|<=C|x-y|^alpha ||nablau||_p$ per q.o. $x,y in RR^n$". Il fatto è che l'insieme dei punti $(x,y)$ sta in $RR^(2n)$ e quindi mi sembra un po' strana come notazione, o per lo meno a me sembra controintuitiva. All'inizio ho pensato che fissando $x$, quella disuguaglianza ...

Salve ragazzi, ho questo segnale periodico di periodo $2 pi$ : $x_0(t) = |t-pi| |cos t | [u(t)-u(t-2pi)]$ Il problema di questo segnale, per me, è il doppio modulo. Fosse stato un modulo soltanto, avrei fatto i vari casi con $t>0 $ e $t<0$ e definito le rispettive porte. In questo caso no so come fare, anche se un'idea ce l'ho. Per non risultare troppo pesante tratto solo il caso con t>0 In pratica ho valutato $t> 0$ per entrambi i moduli ottenendo: $t>pi$ e ...

Buongiorno, il mio testo sostiene che: "la sola continuità di f (anche unita alla condizione di raccordo $f(0)=f(T)$ ) é insufficiente a garantire la convergenza puntuale della serie di Fourier in tutto l'intervallo." Si riferisce alle funzioni continue su [0;T] con cuspidi o flessi a tangente verticale all'interno di tale intervallo?

Ciao a tutti ho un problema con questo esercizio: dato il segnale : $ |sen2t| $ devo calcolare i coefficienti di Fourier Ho trovato il periodo che è $ pi/2 $ e che $ omega $ è quindi 4. scomponendo il seno in $ (e^(i2t)-e^(-i2t))/(2i) $ Ottengo cosi che i coefficienti sono a(-1/2)= $ -1/(2i) $ e a(1/2)=$ 1/(2i) $, solo che non possono essere -1/2 e 1/2 perchè i coefficienti devono essere interi... Qualcuno mi può aiutare?

Buonasera, Sono uno studente che sta terminando il suo secondo anno di studi in fisica e sono profondamente appassionato dalla matematica, il problema è che al terzo anno da quest'anno hanno cancellato un corso di geometria differenziale che avrei voluto seguire. Esistono testi adatti a chi come me vorrebbe capirci qualcosa da autodidatta? Una cosa "semplice" per cominciare andrebbe benissimo, se poi mi dovesse piacere l'argomento lo approfondirò dopo averlo studiato in versione edulcorata. Se ...

Salve a tutti, ho un dubbio in un passaggio di una dimostrazione che afferma "in ogni spazio di Banach separabile in cui le successioni di Cauchy deboli non convergono debolmente ad elementi dello spazio, allora la topologia debole non è metrizzabile." Io riesco solo a capire (ovviamente) che la topologia debole non è debolmente completa, ma non che non è metrizzabile! Non è che magari vale un teorema di questo tipo? "Se (E.||-||) è uno spazio di Banach separabile, allora lo spazio metrico ...

Buonasera! In un articolo, ho un'applicazione $J: \mathcal{B}(\Omega, \RR) \to \mathbb{E}$, dove $\mathbb{E}$ è un'estensione di $RR$, mentre $\mathcal{B}(\Omega, \RR) $è un'insieme di funzioni da $RR^n$ a valori in $RR$, ed è definita: $J(f(x)) = \Sigma(x)$, dove $\Sigma(x) = \sum_i x_i$. P er un precedente teorema, questa $J$ è ben definita e $\Sigma$ risulta $\mathbb{E}$-lineare. Mi viene detto che il fatto che $\Sigma$ sia $\mathbb{E}$-lineare porta ...

Ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto con la trasformata di fourier della seguente funzione: $g(x)= e^(2t^2+4t)$ Mi scuso se non posto un tentativo di risoluzione, ma la verità è che non so proprio come risolverla. Trattandola come una distribuzione temperata (quale mi sembra essere, essendo sommabile), ho provato a applicare diverse proprietà, senza riuscendo a portare a termine l'esercizio. Grazie in anticipo

Ciao a tutti ho un problema con un esercizio: Mi si chiede di trovare i coefficienti di Fourier di $ d/dt x(t) $ dove $ x(t)=A/(2pi)t $ per $ t in [0,2pi] $ , ossia il dente di sega. Io ho calcolato la derivata e mi risulta: $ d/dtx(t)=-Adelta(t)+A/(2pi) $ Ora per calcolare i coefficienti di Fourier vorrei usare la formula di sintesi ma non riesco a capire come utilizzarla.. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Ciao a tutti, mi viene chiesto di determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $$f(x) = \dfrac{1}{z^3 +1}$$ per $0<|z+1|<\sqrt{3}$. Ho cercato di rimaneggiare la funzione in modo da centrarla in $z+1$ ma per ora non ho trovato niente di soddisfacente. Ho provato anche a scriverla come somma di frazioni ma la funzione diventa abbastanza brutta. Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua... qualcuno saprebbe darmi una mano? Grazie in ...

Buon pomeriggio Ho un paio di problemi con dei teoremi riguardo le funzioni Hermitiane. Devo dimostrare che, data una funzione olomorfa in un aperto connesso simmetrico rispetto all'asse dei reali, una funzione è Hermitiana se e solo se è reale sull'asse dei reali. Durante la dimostrazione, ad un certo punto, ho bisogno di poter essere certa che l'intersezione tra l'aperto in cui è definita la funzione e $R$ sia aperta e non vuota, per poter dire che ha punti di accumulazione: ...