Esercizio sospettosamente semplice sul TFC

[Bremen000]

Buongiorno, ho alcune perplessità sullo svolgimento del seguente esercizio, di cui riporto testo e mio svolgimento.

Esercizio

Sia \( f \in L^1 ([0,2]) \), sia \(\psi : [0,1] \to [0,1] \) una funzione e sia \( F : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da
\[ F(t) = \int_0^1 f(x+ \psi(t))dx \quad \quad \text{per ogni } t \in [0,1] \]

Si dimostri che


(a) se $\psi$ è continua allora $F$ è continua;
(b) se \( \psi \in C^1([0,1])\) e $\psi'>0$ per ogni $t \in [0,1]$, allora $F$ è derivabile per quasi ogni $t \in [0,1]$.


Svolgimento

Sia

\[ G(t) := \int_0^t f(s)ds \quad \quad \text{per ogni } t \in [0,2] \]

Per il teorema fondamentale del calcolo, $G$ è assolutamente continua in \( [0,2] \) ed è derivabile per quasi ogni $t \in [0,2]$.

Ora, si ha:

\[ F(t) = \int_0^1 f(x+ \psi(t))dx = \int_{\psi(t)}^{1+\psi(t)}f(s) ds = G(1+\psi(t))-G(\psi(t)) \]

(a) Poiché $\psi(t)$ è continua, anche $t \mapsto 1+\psi(t)$ è continua. Composizione e differenza di funzioni continue è continua.

(b) Poiché $\psi(t)$ è derivabile, anche $t \mapsto 1+\psi(t)$ è derivabile. Essendo $G$ derivabile per quasi ogni $t \in [0,2]$ allora anche la composizione di $G$ con le altre due funzioni è derivabile per quasi ogni $t \in [0,1]$. Differenza di funzioni derivabili è derivabile.


Dubbi

Innanzitutto sono piuttosto sicuro della mia soluzione, il che è allarmante visto che non uso metà delle ipotesi nel secondo pezzo (uso solo il fatto che $\psi$ sia derivabile e non sfrutto che lo sia con continuità e con derivata positiva).
Cosa ho sbagliato?

[dissonance]

A me pare giusto.

[Bremen000]

Ciao dissonance!
E' preso dall'ammissione al dottorato in SISSA di quest'anno quindi mi aspettavo di essermi perso qualche sottigliezza!