Palle in R^2 e intervallo (0,1)
Sto provando a fare un esercizio del "Giovanni Leoni", il problema che mi fermo subito, già nei primi punti.
L'esercizio dce:
Trovare una successione di palle aperte
\[
\{B((t_n,0),r_n)\} \subset R^2
\]
con $1
\sum_{n=1}^\infty r_n<\frac{1}{2},
\]
in modo che $\bigcup_{n=1}^\infty (t_n-r_n,t_n+r_n)$ è denso in $(0,1)$ e $\partial \Omega=\partial(\bar{\Omega})$.
Dove
\[
\Omega :=B((1,0),1)\backslash \bar{\bigcup_{n=1}^\infty B((t_n,0),r_n)}
\]
Inoltre in base a come prosegue nel seguito mi sembra che sia necessario richiedere (o forse è una necessaria conseguenza) anche che
\[
A:=\{x_1\in (1/4,1/2):\ (x_1,0)\in\partial\Omega\} \quad \text{abbia misura di Lebesgue (1-dimensionale) non nulla}
\]
Spero qualcuno possa aiutarmi.
L'esercizio dce:
Trovare una successione di palle aperte
\[
\{B((t_n,0),r_n)\} \subset R^2
\]
con $1
\sum_{n=1}^\infty r_n<\frac{1}{2},
\]
in modo che $\bigcup_{n=1}^\infty (t_n-r_n,t_n+r_n)$ è denso in $(0,1)$ e $\partial \Omega=\partial(\bar{\Omega})$.
Dove
\[
\Omega :=B((1,0),1)\backslash \bar{\bigcup_{n=1}^\infty B((t_n,0),r_n)}
\]
Inoltre in base a come prosegue nel seguito mi sembra che sia necessario richiedere (o forse è una necessaria conseguenza) anche che
\[
A:=\{x_1\in (1/4,1/2):\ (x_1,0)\in\partial\Omega\} \quad \text{abbia misura di Lebesgue (1-dimensionale) non nulla}
\]
Spero qualcuno possa aiutarmi.
Risposte
Forse ho trovato come fare.
Propongo cosa ho pensato:
1. Prendo (ragionando sui diametri, cioè su $2r_n$)
\[
2r_1=2r_2\frac{1}{4}-\epsilon \quad 2r_3=2r_4=2r_5=2r_6=\frac{1}{16} \quad 2r_7=...=...=2r_14=\frac{1}{64} ............
\]
Cioè sto facendo come la costruzione dicotomica con solo il primo intervallino più piccolo di $\epsilon$.
Allora $\sum_{n=1}^\infty 2r_n = 1-\epsilon$ e quindi $\sum_{n=1}^\infty r_n =\frac{1}{2}-\epsilon$.
Ora precedo sempre come la costruzione dicotomica:
Cioè le prime due palla la metto, rispettivamente, al centro dell'intervallo $(0,1/2)$ e $(1/2,1)$.
Dalla terza alla settima pala le metto rispettivamente al centro dei quattro intervalli che ottengo facendo $(0,1)\backslash ((t_1-r_1,t_1+r_1)\cup(t_2-r_2,t_2+r_2))$.
poi continuo in modo analogo.
2. Chiaramente con questo ragionamento posso avvicinarmi a piacere a qualsiasi punto dell'intervallo $(0,1)$, e quindi otteniamo che
\[
\bigcup_n (t_n-r_n,t_n+r_n) \quad \text{è denso in } (0,1) .
\]
3. Inoltre mi sembra di poter giustificare l'uguaglianza $\partial \Omega=\partial(\bar{\Omega})$ dicendo che:
Preso un punto $x_0$ di frontiera di $\bar{\Omega}$ e una palla qualsiasi centrata in tale punto, si ha che
\[
B(x_0,r)\cap(R^2\backslash \Omega) \neq \emptyset
\]
(questo vale per definizione di punto di frontiera), ma in questo caso si ha qualcosa di più, cioè che
\[
B(x_0,r)\cap E(\Omega) \neq \emptyset \quad\quad \text{dove } E(\Omega)= \text{ punti esterni di Omega}.
\]
4. Mi resta da provare l' affermazione sulla misura.
Dato che $\sum_{n=1}^\infty 2r_n = 1-\epsilon$ abbiamo che
\[
\mu(\{x_1\in (0,1):\ (x_1,0)\in\partial\Omega\})=\epsilon
\]
Per la simmetria di quello che abbiamo costruito posso dire
\[
\mu(A)=\frac{\epsilon}{4}>0.
\]
E quindi ho concluso.
Propongo cosa ho pensato:
1. Prendo (ragionando sui diametri, cioè su $2r_n$)
\[
2r_1=2r_2\frac{1}{4}-\epsilon \quad 2r_3=2r_4=2r_5=2r_6=\frac{1}{16} \quad 2r_7=...=...=2r_14=\frac{1}{64} ............
\]
Cioè sto facendo come la costruzione dicotomica con solo il primo intervallino più piccolo di $\epsilon$.
Allora $\sum_{n=1}^\infty 2r_n = 1-\epsilon$ e quindi $\sum_{n=1}^\infty r_n =\frac{1}{2}-\epsilon$.
Ora precedo sempre come la costruzione dicotomica:
Cioè le prime due palla la metto, rispettivamente, al centro dell'intervallo $(0,1/2)$ e $(1/2,1)$.
Dalla terza alla settima pala le metto rispettivamente al centro dei quattro intervalli che ottengo facendo $(0,1)\backslash ((t_1-r_1,t_1+r_1)\cup(t_2-r_2,t_2+r_2))$.
poi continuo in modo analogo.
2. Chiaramente con questo ragionamento posso avvicinarmi a piacere a qualsiasi punto dell'intervallo $(0,1)$, e quindi otteniamo che
\[
\bigcup_n (t_n-r_n,t_n+r_n) \quad \text{è denso in } (0,1) .
\]
3. Inoltre mi sembra di poter giustificare l'uguaglianza $\partial \Omega=\partial(\bar{\Omega})$ dicendo che:
Preso un punto $x_0$ di frontiera di $\bar{\Omega}$ e una palla qualsiasi centrata in tale punto, si ha che
\[
B(x_0,r)\cap(R^2\backslash \Omega) \neq \emptyset
\]
(questo vale per definizione di punto di frontiera), ma in questo caso si ha qualcosa di più, cioè che
\[
B(x_0,r)\cap E(\Omega) \neq \emptyset \quad\quad \text{dove } E(\Omega)= \text{ punti esterni di Omega}.
\]
4. Mi resta da provare l' affermazione sulla misura.
Dato che $\sum_{n=1}^\infty 2r_n = 1-\epsilon$ abbiamo che
\[
\mu(\{x_1\in (0,1):\ (x_1,0)\in\partial\Omega\})=\epsilon
\]
Per la simmetria di quello che abbiamo costruito posso dire
\[
\mu(A)=\frac{\epsilon}{4}>0.
\]
E quindi ho concluso.
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