Analisi superiore

Pochi giorni fa ho dato l'esame di Analisi II e mi sono imbattuta in questo esercizio, che non avevo mai visto e subito infatti mi sono bloccata : Si verichi che $sin(mx)$, $cos(nx)$ e le funzioni costanti sono ortogonali tra di loro in $L^2(-\pi,\pi)$, per ogni n,m $in$ $NN$. L'unica cosa che mi viene da pensare è che potrei fare un prodotto scalare tra le due funzioni visto che mi chiede l'ortogonalità, ma non credo che sia questa la soluzione...

Buon pomeriggio a tutti, ho svolto il seguente esercizio, spero con profitto. Classificare le singolarità isolate sulla sfera di Riemann $\mathbb{C} \cup {\infty}$ della funzione $f(z)=(e^(1/z) - e)/(z^3 - z^2)$, e calcolarne i residui corrispondenti Svolgimento: Ho pensato fosse opportuno scrivere la funzione come $f(z)=(e^(1/z))/(z^3-z^2) - (e)/(z^3-z^2)=g(z)-h(z)$ e usare il fatto che il residuo della differenza è la differenze del residuo . Tratto prima la $g(z)$ e poi la $h(z)$. La ...

Salve vi scrivo per dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio: Dunque l'esercizio si divide in due parti, nella prima si richiede di calcolare la trasformata di Laplace della soluzione del problema di Cauchy $ { ( u''-u=e^tchi _([0;1])(t) rArr t>=0),( u(0)=0),( u'(0)=1 ):} $ Se ho effettuato correttamente i calcoli il risultato dovrebbe essere $ \mathcal(L) <span class="b-underline">(z)= (e^(1-z)-z)/((1-z)(z^2-1)) $ A questo punto la seconda parte dell'esercizio richiede di scrivere l'espressione di u Quindi procedo nell'antitrasformare la funzione ottenuta, per farlo procedo nella ...

Salve, sono uno studente di astronomia al terzo anno. In un corso sulla relatività speciale abbiamo affrontato alcuni argomenti di matematica nuovi, tra cui le distribuzioni, trasformate e convoluzioni. Data la natura del corso, non abbiamo affrontato l'argomento in maniera dettagliata, perciò facendo esercizi ho incontrato delle difficoltà che non riesco a risolvere, in particolare sulle derivate distribuzionali. Per far capire meglio le mie difficoltà vorrei proporre un esempio presente nelle ...

Buonasera a tutti, mi sono imbattuta in un esercizio di analisi in cui si parla della norma L2. La mia domanda è: si può dire a priori che la norma L2 è maggiore o uguale a 1? Mi sembra che il mio professore abbia detto così ma non ho trovato altri risultati online e magari è stata solo una mia svista nel ricopiare gli appunti. Grazie in anticipo dell'aiuto. Giulia

Salve a tutti! Ho un dubbio per quanto riguarda la valutazione esplicita dei residui di una funzione $f(z)$ nel caso in cui $z_{0}$ è un polo di ordine $n$. Nelle dispense di cui dispongo viene posta $f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_{0})^n}$ con $g(z)$ olomorfa nell'intorno di $z_{0}$ e viene quindi sostituita nella definizione di residuo: $ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_{z}\frac{g(z)}{(z - z_{0})^n} dz$ Quindi utilizzando la rappresentazione di Cauchy per la derivata di ordine $k$ di una ...

Buon pomeriggio, sto svolgendo il seguente esercizio assegnatomi, e preso dal testo Complex Analysis - Mathews, Howell. Calculate $ int_(0)^(2pi) (cos^2(3t))/(5-3cos(2t)) dt $ Hint: Laurent series A lezione abbiamo trattato gli integrali trigonometrici, con funzione $f(cos(t),sin(t))$, e abbiamo visto come ponendo $z=e^{it}$ sia possibile ricondurre l'integrale sul periodo al calcolo dei residui all'interno di $\Gamma={z \in \mathbb{C}: |z| < 1}$ della funzione $-i/zf((z+z^-1)/2,(z-z^-1)/(2i))$. Ho provato ...

Ciao a tutti, studiando analisi complessa mi sono imbattuto nello studio delle singolarità e serie di Laurent. Non ho avuto grossi nella loro classificazione. Come esempio un testo a cui faccio riferimento dice che la funzione $f(z)=z^2*sin(1/z)$ presenta una singolarità essenziale nell'origine. E questo, guardando lo sviluppo di Laurent mi viene confermato: ho un'infinità numerabile di interi negativi $n$ tali che i coefficienti $c_n$ sono non nulli. (in tal modo ho ...

Sia $f:CC->CC$ una funzione olomorfa e doppiamente periodica (cioè $f(z)=f(z+w_1)=f(z+w_2) AA z in CC, w_1,w_2 in CC$ e linearmente indipendenti su $RR$). Allora dimostrare che $f$ è costante. Avete qualche suggerimento da darmi? Vorrei ricondurmi al teorema di Liouville, quindi devo mostrare che $|f(z)|$ è limitata. Ma non so come lavorare con le funzioni periodiche. A lezione non abbiamo mai definito funzioni con periodo complesso. Grazie mille.

Salve, sto risolvendo un esercizio che mi chiede di calcolare i residui di: $f(z)=1/(z^6+1)$ Cerco quindi le radici seste di -1 che risultano: $e^(i*(\pi/6+k*(\pi)/3)) k=0,1,2,3,4,5$ Ora utilizzando la formula con il limite è un suicidio di conti calcolare tutti i residui, inoltre nella soluzione del testo passano direttamente al risultato. Quindi mi viene da pensare, data la particolare configurazione esiste un modo per accorciare la strada?

Buonasera, sono alle prese con il seguente esercizio che mi lascia un po' perplesso. Ecco il testo: Sia $(X,\mathcal{M}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\{f_n\}_{n \in NN} \subset L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$ una successione limitata di funzioni a valori reali tali che esiste $f: X \to RR $ tale che $ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ per ogni $x \in X$. Si dimostri che $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$ e che $\lim_{n \to \infty} ( |f_n|_1 + |f-f_n|_1) = |f|_1$ dopo aver dimostrato la seguente disuguaglianza elementare: $\forall \epsilon >0 \quad \exists C_{\epsilon} >0 $ t.c. $ ||s-t|-|s|-|t|| <= \epsilon|t|+ C_{\epsilon} |s|$ per ogni ...

Buon pomeriggio a tutti, vorrei porvi una domanda più qualitativa che quantitativa sulla differenza tra serie e trasformata di Fourier. Quello che ho studiato a riguardo (omettendo i dettagli) è quanto segue: una funziona periodica, considerata in un certo intervallo, può espandersi in serie di Fourier come somma di seni e coseni moltiplicati per i termini di due successioni calcolate tramite le ben note formule. Poichè la serie di Fourier è definita soltanto per funzioni periodiche, viene ...

Sia $a_n$= $(sen(n/x))/(n^2*x^(3/2))$ con x$in$ ]0,1[ , si dimostri che $\sum_{n=1}^ \infty $ $a_n$ è sommabile ]o,1[ e che $\int_0^1 $ $\sum_{n=1}^ \infty $ $a_n$ dx = $\sum_{n=1}^ \infty$ $\int_0^1 $ $a_n$ dx

Salve a tutti. Studiando gli operatori lineari nello spazio di Hilbert mi sono imbattuto in una questione spinosa che ora vi presento. In $L^2(\mathbbR)$ l'operatore $A$ definito sul dominio $D_A={f\inL^2(\mathbbR), f_(AC), f'\inL^2(\mathbbR)}$ che agisce come $Af=-i(df)/dx$ risulta essere autoaggiunto (siete d'accordo?). Il suo spettro puntuale è vuoto e anche quello residuo, dal momento che l'operatore è autoaggiunto. L'equazione agli autovalori è $-i(d)/dxf=\lambdaf$ che restituisce $f=Ce^(i\lambdax)\notinL^2(\mathbbR)$. D'altra ...

Ciao a tutti mi servirebbe una mano con questo integrale $int_{-\infty}^{\infty} (sen(2\pix))/(2x^2+x)$ $x_1=0$, $x_2=-1/2$ sono poli semplici $Res(f(x),x_1)=0$ $Res(f(x),x_2)=0$ Per il lemma di Jordan dovrebbe essere $int_{-\infty}^{\infty} (sen(2\pix))/(2x^2+x)=2pii(0+1/2*0)=0$ Ma WolframAlpha restituisce come risultato $2\pi$

Sia $X$ uno spazio di Hilbert e $\varphi \in X' \setminus \{0\}$. Posto $$C=\{x \in X: \varphi(x)=1\},$$ devo dimostrare che $C^{_|_}=\{0\}$. Chiaramente $C^{_|_}=\{y \in X: (y|x)=0, \forall x \in C\}$. Ho pensato di sfruttare il Teorema di Rappresentazione di Riesz, considerando l'elemento $z \in X$ tale che $\varphi(x)=(z|x)$ per ogni $x \in X$. Tuttavia questo non mi aiuta. Ringrazio in anticipo chi mi vorrà dare un suggerimento.

Salve vi scrivo chiedendovi dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio di analisi complessa: Sia $ f(z)=(z^2-2)/(sin(piz^2)) $ classificare i punti singolari isolati Dunque procedo nella determinazione degli zeri a numeratore e denominatore: Il denominatore si annulla per $ z=+-sqrt(k) $ Il numeratore invece si annulla per $ z=+-sqrt(2) $ A questo punto come classifico le singolarità?

Buonasera, mi stavo esercitando a rispondere alle seguenti domande e vorrei sapere se le mie risposte hanno senso: Sia $X$ uno spazio di Banach riflessivo infinito dimensionale e sia $\mathcal{K}(X)$ l'insieme degli operatori compatti da $X$ in sé. Sia $K \in \mathcal{K}(X)$ 1. $K$ può essere una biiezione? Secondo me no, per il teorema della mappa aperta, se lo fosse, avrei che, essendo suriettivo, mappa aperti in aperti. Ma questo è assurdo perché ...

Buonasera, ho bisogno di nuovo di chiedervi un'informazione, ho paura troppo banale. Sempre per quanto concerne i teoremi di Cauchy, nelle ipotesi io devo considerare l'olomorfia di una funzione per poter procedere, e a proposito di alcune tipologie di funzioni mi viene un dubbio. Ad esempio: $int_gamma cos(z)/(z(z^2+8)) dz$ nel considerare $f(z)$ questa risulta essere olomorfa in $C-0$ oppure in $C- {0; +-sqrt(-8)}$ dato che siamo in $C$? O anche un esempio di questo tipo: ...

Salve, spero possiate aiutarmi a capire come risolvere questa tipologia di esercizi. Ho problemi a comprendere la questione dominio... Inizio col riportare un esempio di esercizio, così provo ad essere più mirata sul problema Dato: $ int_\gamma e^z/((z − 1)(z + 3)^2) dz $, dove $γ : |z + 1| = 3$ Siano $ D_1 = {z ∈ C : |z − 1| ≤ epsilon}; D_2 = {z ∈ C : |z + 3| ≤ epsilon}$, $0 < epsilon < 1$ e $D_0 = {z ∈ C : |z + 1| ≤ 3}$. STEP1: Applichiamo il primo teorema integrale di Cauchy alla funzione $ f(z) = e^z/((z+3)^2(z−1)) $ nel dominio $D = \bar(D_0 − (D_1 ∪ D_2))$ ($#$) ...